ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Цилиндрический сосуд с водой вращают вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти:
а) форму свободной поверхности воды;
б) распределение давления воды на дне сосуда вдоль его радиуса, если давление в центре дна равно $p_{0}$.


Решение:


Уравнение Эйлера равно $\rho \frac{ d \vec{v} }{dt} = \vec{f} - \vec{ \nabla } p$ в неподвижной системе отсчета, где $\vec{f} = - \rho g \vec{k}$ направлена вниз. Мы предполагаем что жидкость несжимаема, поэтому $\rho$ постоянна.

Тогда $\vec{f} = - \vec{ \nabla } ( \rho gz)$, где $z$ - высота по вертикали вверх от некоторого фиксированного начала. Перейдем к вращающейся системе отсчета, уравнение

$\rho \frac{d \vec{v}^{ \prime} }{dt} = - \vec{ \nabla } (p + \rho gz) + \rho \omega^{2} \vec{r} + 2 \rho ( \vec{v}^{ \prime} \times \vec{ \omega } )$

дополнительные слагаемые справа являются хорошо известные силы кориолиса и центробежные. В системе отсчета, вращающейся с жидкостью $\vec{v}^{ \prime} = 0$, так что

$\vec{ \nabla } \left ( p + \rho gz - \frac{1}{2} \rho \omega^{2} r^{2} \right ) = 0$

или $p + \rho gz - \frac{1}{2} \rho \omega^{2} r^{2} = const$

На свободной поверхности $p = const$, таким образом

$z = \frac{ \omega^{2} }{2g} r^{2} + const$

Если выберем начало в точке $r = 0$ то $const = 0$ и

$z = \frac{ \omega^{2} }{2g } r^{2}$ (Параболоид вращения)

Снизу $z = const$

Итак $p = \frac{1}{2} \rho \omega^{2} r^{2} + const$

Если $p = p_{0}$ снизу, то

$p = p_{0} + \frac{1}{2} \rho \omega^{2} r^{2}$.