Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6852
2018-03-24 
В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживающаяся трубка (рис.), через которую вытекает вода. Площадь сечения трубки уменьшается от $S = 3,0 см^{2}$ до $s = 1,0 см^{2}$. Уровень воды в баке на $h = 4,6 м$ выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную составляющую силы, вырывающей трубку из бака.
Решение:
Предположим, что радиус трубки в точке A равен $R$ и он уменьшается до $r$ в точке B, где площади $S = \pi R^{2}$ и $s = \pi r^{2}$. Предположим также, что половина угла в точке O равно $\alpha$. Тогда
$\frac{R}{L_{2} } = \frac{r}{L_{1} } = \frac{y}{x}$
Итак $y = r + \frac{R - r}{L_{2} - L_{1} } (x - L_{1} )$
где $y$ - радиус в точке P, удаленный на $x$ от вершины O. Предположим, что скорость, с которой вытекает жидкость, равна $V$ в точке A, $v$ в B и $u$ в точке P. Тогда по уравнению непрерывности
$\pi R^{2}V = \pi r^{2}v = \pi y^{2}u$
Скорость $v$ истечения определяется формулой
$v = \sqrt{2gh}$
и теорема Бернулли дает
$p_{p} + \frac{1}{2} \rho u^{2} = p_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
где $p_{p}$ - давление при $P$ и $p_{0}$ - атмосферное давлением. Сила на конце трубки, тогда
$F = \int (p_{p} - p_{0} ) \sin \theta 2 \pi y ds$
Мы вычли $p_{0}$, которая обусловлена атмосферным давлением, $\sin \theta$ дает горизонтальную составляющую силы, $ds$ - длина элемента поверхности сопла $ds = dx sec \theta$ и
$tg \theta = \frac{R - r}{L_{2} - L_{1} }$
таким образом
$F = \int_{L_{1} }^{L_{2} } \frac{1}{2} (v^{2} - u^{2} ) \rho 2 \pi y \frac{R - r }{L_{2} - L_{1} } dx = \pi \rho \int_{r}^{R} v^{2} \left ( 1 - \frac{r^{4} }{y^{4} } \right ) ydy = \pi \rho v^{2} \frac{1}{2} \left ( R^{2} - r^{2} + \frac{r^{4} }{R^{2} } - r^{2} \right ) = \rho gh \left ( \frac{ \pi (R^{2} - r^{2} )^{2} }{R^{2} } \right ) = \rho gh (S - s)^{2} /S = 6,02 Н$ при вводе значений.
Примечание. Если мы попытаемся вычислить $F$ из закона изменения импульса жидкости, вытекающей из отверстия, ответ будет неверен в отношении знака силы.
В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживающаяся трубка (рис.), через которую вытекает вода. Площадь сечения трубки уменьшается от $S = 3,0 см^{2}$ до $s = 1,0 см^{2}$. Уровень воды в баке на $h = 4,6 м$ выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную составляющую силы, вырывающей трубку из бака.
Решение:
Предположим, что радиус трубки в точке A равен $R$ и он уменьшается до $r$ в точке B, где площади $S = \pi R^{2}$ и $s = \pi r^{2}$. Предположим также, что половина угла в точке O равно $\alpha$. Тогда
$\frac{R}{L_{2} } = \frac{r}{L_{1} } = \frac{y}{x}$
Итак $y = r + \frac{R - r}{L_{2} - L_{1} } (x - L_{1} )$
где $y$ - радиус в точке P, удаленный на $x$ от вершины O. Предположим, что скорость, с которой вытекает жидкость, равна $V$ в точке A, $v$ в B и $u$ в точке P. Тогда по уравнению непрерывности
$\pi R^{2}V = \pi r^{2}v = \pi y^{2}u$
Скорость $v$ истечения определяется формулой
$v = \sqrt{2gh}$
и теорема Бернулли дает
$p_{p} + \frac{1}{2} \rho u^{2} = p_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
где $p_{p}$ - давление при $P$ и $p_{0}$ - атмосферное давлением. Сила на конце трубки, тогда
$F = \int (p_{p} - p_{0} ) \sin \theta 2 \pi y ds$
Мы вычли $p_{0}$, которая обусловлена атмосферным давлением, $\sin \theta$ дает горизонтальную составляющую силы, $ds$ - длина элемента поверхности сопла $ds = dx sec \theta$ и
$tg \theta = \frac{R - r}{L_{2} - L_{1} }$
таким образом
$F = \int_{L_{1} }^{L_{2} } \frac{1}{2} (v^{2} - u^{2} ) \rho 2 \pi y \frac{R - r }{L_{2} - L_{1} } dx = \pi \rho \int_{r}^{R} v^{2} \left ( 1 - \frac{r^{4} }{y^{4} } \right ) ydy = \pi \rho v^{2} \frac{1}{2} \left ( R^{2} - r^{2} + \frac{r^{4} }{R^{2} } - r^{2} \right ) = \rho gh \left ( \frac{ \pi (R^{2} - r^{2} )^{2} }{R^{2} } \right ) = \rho gh (S - s)^{2} /S = 6,02 Н$ при вводе значений.
Примечание. Если мы попытаемся вычислить $F$ из закона изменения импульса жидкости, вытекающей из отверстия, ответ будет неверен в отношении знака силы.
