ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-24   
Показать, что в случае стационарного потока идеальной жидкости уравнение $\rho \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{f} - \nabla p$ приводит к уравнению Бернулли.


Решение:


Уравнение Эйлера имеет вид $\rho \frac{d \vec{v} }{dt} = \vec{f} - \vec{ \nabla } p = - \vec{ \nabla } (p + \rho gz )$, где $z$ направлено вертикально вверх.

Тогда $\frac{ d \vec{v} }{dt} = \frac{ \partial \vec{v} }{ \partial t } + ( \vec{v} \cdot \vec{ \nabla } ) \vec{v}$. (1)
Но $( \vec{v} \cdot \vec{ \nabla } ) \vec{v} = \vec{ \nabla } \left ( \frac{1}{2} v^{2} \right ) - \vec{v} \times Curl \vec{v}$ (2)

мы рассмотрим устойчивый (т. е. $\partial \vec{v} / \partial t = 0$) поток несжимаемой жидкости, тогда $\rho = const$, и поскольку движение является безвихревым, $Curl \vec{v} = 0$
Из (1) и (2) $\rho \vec{ \nabla } \left ( \frac{1}{2} v^{2} \right ) = - \vec{ \nabla } (p + \rho gz )$

или, $\vec{ \nabla } \left ( p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho gz \right ) = 0$

Следовательно $p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho gz = const$.