Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6842
2018-03-18 
Два груза с одинаковыми массами $m$, связанные невесомой нитью, прикрепляют к висящей пружине с жесткостью $k$ и отпускают (см. рис.). Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна $3mg/2$. Найти максимальное удлинение пружины.
Решение:
Направим ось $x$ вниз и примем, что в начальный момент $x = 0$ для верхнего груза. Если бы нить не обрывалась, то движение грузов представляло бы собой гармонические колебания около положения равновесия $x = 2mg/k$ (отсчёт ведем по верхнему грузу), в котором сила упругости, равная $kx$, уравновешивает силу тяжести $2mg$. При этом координата верхнего груза изменялась бы во времени по закону
$x(t) = \frac{2mg}{k} - \frac{2mg}{k} \cos \omega t$,
где $\omega = \sqrt{k/(2m)}$, а его скорость и ускорение, соответственно, как
$v_{x}(t) = g \sqrt{ \frac{2m}{k}} \sin \omega t$,
$a_{x}(t) = g \cos \omega t$.
Зависимость силы натяжения нити $T$ от времени проще всего найти из второго закона Ньютона для нижнего груза (ускорения обоих грузов, если нить не оборвалась, очевидно, одинаковы):
$T = mg(1 - \cos \omega t)$.
Отсюда видно, что сила $T$ достигает максимального значения $3mg/2$ при $\cos \omega t = - 0,5$, т.е. в момент времени $t_{1} = \frac{2 \pi}{3 \omega}$. В этот момент нижний груз отрывается. Далее следует рассматривать задачу о движении на пружине одного верхнего груза, имеющего в точке $x_{1} = x(t_{1}) = 3mg/k$ скорость $v_{1} = v_{x}(t_{1}) = g \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{m}{k} }$.
Максимальное удлинение пружины можно найти из закона сохранения энергии, учитывая, что в крайнем нижнем положении (обозначим эту координату через $x_{2}$) скорость груза обращается в нуль:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{kx_{1}^{2} }{2} + mg (x_{2} - x_{1}) = \frac{kx_{2}^{2} }{2}$,
(потенциальная энергия груза в поле тяжести отсчитывается здесь от крайнего нижнего положения). Подставляя выражения для $x_{1}$ и $v_{1}$, приводим это уравнение к виду
$x_{2}^{2} - \frac{2mg}{k} x_{2} - \frac{9}{2} \frac{m^{2}g^{2} }{k^{2} } = 0$,
откуда находим
$x_{2} = \frac{mg}{k} \left ( 1 \pm \sqrt{ \frac{11}{2} } \right )$.
Выбирая верхний знак (иначе $x_{2} < 0$), окончательно получаем, что
$x_{2} = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{11}{2} } \right )$,
Величина $x_{2}$ равна, очевидно, максимальному удлинению пружины.
Два груза с одинаковыми массами $m$, связанные невесомой нитью, прикрепляют к висящей пружине с жесткостью $k$ и отпускают (см. рис.). Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна $3mg/2$. Найти максимальное удлинение пружины.
Решение:
Направим ось $x$ вниз и примем, что в начальный момент $x = 0$ для верхнего груза. Если бы нить не обрывалась, то движение грузов представляло бы собой гармонические колебания около положения равновесия $x = 2mg/k$ (отсчёт ведем по верхнему грузу), в котором сила упругости, равная $kx$, уравновешивает силу тяжести $2mg$. При этом координата верхнего груза изменялась бы во времени по закону
$x(t) = \frac{2mg}{k} - \frac{2mg}{k} \cos \omega t$,
где $\omega = \sqrt{k/(2m)}$, а его скорость и ускорение, соответственно, как
$v_{x}(t) = g \sqrt{ \frac{2m}{k}} \sin \omega t$,
$a_{x}(t) = g \cos \omega t$.
Зависимость силы натяжения нити $T$ от времени проще всего найти из второго закона Ньютона для нижнего груза (ускорения обоих грузов, если нить не оборвалась, очевидно, одинаковы):
$T = mg(1 - \cos \omega t)$.
Отсюда видно, что сила $T$ достигает максимального значения $3mg/2$ при $\cos \omega t = - 0,5$, т.е. в момент времени $t_{1} = \frac{2 \pi}{3 \omega}$. В этот момент нижний груз отрывается. Далее следует рассматривать задачу о движении на пружине одного верхнего груза, имеющего в точке $x_{1} = x(t_{1}) = 3mg/k$ скорость $v_{1} = v_{x}(t_{1}) = g \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{m}{k} }$.
Максимальное удлинение пружины можно найти из закона сохранения энергии, учитывая, что в крайнем нижнем положении (обозначим эту координату через $x_{2}$) скорость груза обращается в нуль:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{kx_{1}^{2} }{2} + mg (x_{2} - x_{1}) = \frac{kx_{2}^{2} }{2}$,
(потенциальная энергия груза в поле тяжести отсчитывается здесь от крайнего нижнего положения). Подставляя выражения для $x_{1}$ и $v_{1}$, приводим это уравнение к виду
$x_{2}^{2} - \frac{2mg}{k} x_{2} - \frac{9}{2} \frac{m^{2}g^{2} }{k^{2} } = 0$,
откуда находим
$x_{2} = \frac{mg}{k} \left ( 1 \pm \sqrt{ \frac{11}{2} } \right )$.
Выбирая верхний знак (иначе $x_{2} < 0$), окончательно получаем, что
$x_{2} = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{11}{2} } \right )$,
Величина $x_{2}$ равна, очевидно, максимальному удлинению пружины.
