Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6839
2018-03-18 
В цепи, представленной на рисунке, индуктивности катушек одинаковы, а их активное сопротивление равно нулю. В цепи циркулирует постоянный ток. Из одной катушки резко вынимают сердечник, уменьшая тем самым ее индуктивность вдвое. После установления тока сердечник очень медленно вдвигают обратно в катушку. Какая доля первоначальной энергии тока выделится в виде тепла на резисторе?
Решение:
Поскольку катушки идеальные (их активное сопротивление равно нулю), ток в цепи может циркулировать бесконечно долго. При этом напряжение на катушках остается равным нулю и, следовательно, отсутствует ток через резистор.
Что произойдет, если из одной катушки(например,верхней) резко (за очень малое время $\Delta t$) удалить сердечник и тем самым, как сказано в условии задачи, уменьшить ее индуктивность вдвое? Ток через эту катушку возрастет в два раза. Действительно, из условия конечности ЭДС индукции $E_{i}$, которая определяется формулой
$E_{i} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$,
следует, что $\Delta \Phi \rightarrow 0$ при $\Delta t \rightarrow 0$.
Обозначая индуктивности катушек и ток в цепи до удаления сердечника через $L$ и $I$, запишем выражение для энергии магнитного поля, первоначально запасенной в цепи, в виде
$W_{м} = 2 \frac{LI^{2} }{2} = LI^{2}$.
Сразу после извлечения сердечника энергия равна
$W_{м}^{ \prime} = \frac{1}{2} LI^{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{L}{2} \right )(2I )^{2} = \frac{3}{2} LI^{2}$
(ток через нижнюю катушку не изменился). Энергия магнитного поля возрастает ($W_{м}^{ \prime} > W_{м}$), поскольку при удалении сердечника совершается положительная работа (магнетик с проницаемостью, большей единицы, втягивается в область более сильного магнитного поля, т. е. внутрь катушки).
Для дальнейшего удобно токи в катушках снабдить индексами (1 — в верхней, 2 — в нижней). Поскольку катушки не обладают омическим сопротивлением, ЭДС индукции, возникающие в этих катушках, в любой момент времени равны по величине и противоположны по знаку. В противном случае токи $I_{1}$ и $I_{2}$ были бы бесконечными. Таким образом,
$\frac{L}{2} \frac{ \Delta I_{1}}{ \Delta t} = - L \frac{ \Delta I_{2} }{ \Delta t }$,
откуда находим связь между изменениями токов в катушках:
$\Delta I_{1} = -2 \Delta I_{2}$.
Так как данное соотношение выполняется на каждом малом промежутке $\Delta t$, то оно будет верно и в течение всего процесса установления токов. Установившийся ток $I^{ \prime}$ (он будет в катушках одинаковым, поскольку ток через резистор станет равным нулю) находится из соотношения
$I^{ \prime} - 2I = 02(I^{ \prime} - I)$,
где учтено, что в начале процесса установления токи в первой и второй катушках были соответственно $2I$ и $I$. В итоге получаем
$I^{ \prime} = \frac{4}{3}I$.
Энергия магнитного поля тока в цепи после установления тока будет равна
$W_{м}^{ \prime \prime} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} L \right ) I^{ \prime 2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{4}{3} LI^{2}$,
а убыль энергии $W_{м}^{ \prime} - W_{м}^{ \prime \prime}$ определит количество тепла $Q$, которое выделится в резисторе в ходе процесса установления:
$Q = \left ( \frac{3}{2} - \frac{4}{3} \right ) LI^{2} = \frac{1}{6} LI^{2}$.
Рассмотрим теперь процесс медленного возвращения сердечника в катушку. Напряжение на резисторе равно ЭДС индукции в любой из катушек $|E_{i} | = | \Delta \Phi/ \Delta t|$. Количество теплоты, выделяющееся в резисторе за малый промежуток времени $\Delta t$, запишем в виде
$\Delta Q = I_{R}^{2}R \Delta t = | E_{i} | I_{R} \Delta t = I_{R} | \Delta \Phi |$,
где $I_{R}$ — ток через резистор. Полное количество тепла, которое выделится при возвращении сердечника, находится путем суммирования всех $\Delta Q$ (интегрирования по времени). При медленном возвращении сердечника в катушку ЭДС индукции в катушках будут близки к нулю, а значит близким к нулю будет и ток $I_{R}$. В тоже время сумма $| \Delta \Phi |$ конечна (равна полному изменению потока через любую катушку). Поэтому выделившееся на резисторе количество теплоты близко к нулю. Таким образом, тепло в цепи выделялось только на этапе установления тока после резкого удаления сердечника и выделившееся количество теплоты составило
$Q = \frac{LI^{2} }{6}$.
В цепи, представленной на рисунке, индуктивности катушек одинаковы, а их активное сопротивление равно нулю. В цепи циркулирует постоянный ток. Из одной катушки резко вынимают сердечник, уменьшая тем самым ее индуктивность вдвое. После установления тока сердечник очень медленно вдвигают обратно в катушку. Какая доля первоначальной энергии тока выделится в виде тепла на резисторе?
Решение:
Поскольку катушки идеальные (их активное сопротивление равно нулю), ток в цепи может циркулировать бесконечно долго. При этом напряжение на катушках остается равным нулю и, следовательно, отсутствует ток через резистор.
Что произойдет, если из одной катушки(например,верхней) резко (за очень малое время $\Delta t$) удалить сердечник и тем самым, как сказано в условии задачи, уменьшить ее индуктивность вдвое? Ток через эту катушку возрастет в два раза. Действительно, из условия конечности ЭДС индукции $E_{i}$, которая определяется формулой
$E_{i} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$,
следует, что $\Delta \Phi \rightarrow 0$ при $\Delta t \rightarrow 0$.
Обозначая индуктивности катушек и ток в цепи до удаления сердечника через $L$ и $I$, запишем выражение для энергии магнитного поля, первоначально запасенной в цепи, в виде
$W_{м} = 2 \frac{LI^{2} }{2} = LI^{2}$.
Сразу после извлечения сердечника энергия равна
$W_{м}^{ \prime} = \frac{1}{2} LI^{2} + \frac{1}{2} \left ( \frac{L}{2} \right )(2I )^{2} = \frac{3}{2} LI^{2}$
(ток через нижнюю катушку не изменился). Энергия магнитного поля возрастает ($W_{м}^{ \prime} > W_{м}$), поскольку при удалении сердечника совершается положительная работа (магнетик с проницаемостью, большей единицы, втягивается в область более сильного магнитного поля, т. е. внутрь катушки).
Для дальнейшего удобно токи в катушках снабдить индексами (1 — в верхней, 2 — в нижней). Поскольку катушки не обладают омическим сопротивлением, ЭДС индукции, возникающие в этих катушках, в любой момент времени равны по величине и противоположны по знаку. В противном случае токи $I_{1}$ и $I_{2}$ были бы бесконечными. Таким образом,
$\frac{L}{2} \frac{ \Delta I_{1}}{ \Delta t} = - L \frac{ \Delta I_{2} }{ \Delta t }$,
откуда находим связь между изменениями токов в катушках:
$\Delta I_{1} = -2 \Delta I_{2}$.
Так как данное соотношение выполняется на каждом малом промежутке $\Delta t$, то оно будет верно и в течение всего процесса установления токов. Установившийся ток $I^{ \prime}$ (он будет в катушках одинаковым, поскольку ток через резистор станет равным нулю) находится из соотношения
$I^{ \prime} - 2I = 02(I^{ \prime} - I)$,
где учтено, что в начале процесса установления токи в первой и второй катушках были соответственно $2I$ и $I$. В итоге получаем
$I^{ \prime} = \frac{4}{3}I$.
Энергия магнитного поля тока в цепи после установления тока будет равна
$W_{м}^{ \prime \prime} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} L \right ) I^{ \prime 2} + \frac{1}{2} LI^{ \prime 2} = \frac{4}{3} LI^{2}$,
а убыль энергии $W_{м}^{ \prime} - W_{м}^{ \prime \prime}$ определит количество тепла $Q$, которое выделится в резисторе в ходе процесса установления:
$Q = \left ( \frac{3}{2} - \frac{4}{3} \right ) LI^{2} = \frac{1}{6} LI^{2}$.
Рассмотрим теперь процесс медленного возвращения сердечника в катушку. Напряжение на резисторе равно ЭДС индукции в любой из катушек $|E_{i} | = | \Delta \Phi/ \Delta t|$. Количество теплоты, выделяющееся в резисторе за малый промежуток времени $\Delta t$, запишем в виде
$\Delta Q = I_{R}^{2}R \Delta t = | E_{i} | I_{R} \Delta t = I_{R} | \Delta \Phi |$,
где $I_{R}$ — ток через резистор. Полное количество тепла, которое выделится при возвращении сердечника, находится путем суммирования всех $\Delta Q$ (интегрирования по времени). При медленном возвращении сердечника в катушку ЭДС индукции в катушках будут близки к нулю, а значит близким к нулю будет и ток $I_{R}$. В тоже время сумма $| \Delta \Phi |$ конечна (равна полному изменению потока через любую катушку). Поэтому выделившееся на резисторе количество теплоты близко к нулю. Таким образом, тепло в цепи выделялось только на этапе установления тока после резкого удаления сердечника и выделившееся количество теплоты составило
$Q = \frac{LI^{2} }{6}$.
