Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6821
2018-03-18 
Одноатомный идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 в одном случае по кривой 1-a-2, которая является участком параболы $T = \alpha V^{2}$, а в другом — по двум прямым отрезкам: 1-3 и 3-2 (см. рис.). Какое количество теплоты получил газ при переходе 1-3-2, если при переходе 1-а-2 к этому газу подведено 2200 Дж тепла? $T_{1} = 250 K, T_{2} = 360 K$.
Решение:
Изобразим процессы i-a-2 и 1-3-2 на плоскости p,V, используя уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$. Для процесса 1-a-2, где $T = \alpha V^{2}$, находим, что $p = \nu R \alpha V$, т. е. на плоскости p, V этот процесс изображается отрезком прямой, проходящей через начало координат (см. рис.). Изохорный процесс 1-3 и изобарный процесс 3-2 изображаются соответственно вертикальным и горизонтальным отрезками.
Согласно первому принципу термодинамики количество теплоты $Q_{1-a-2}$ равно
$Q_{1-a-2} =U_{2} - U_{1} + A_{1-a-2}^{ \prime} = \frac{3}{2} \nu R ( T_{2} - T_{1} ) + \frac{1}{2} (p_{1} + p_{2} )(V_{2} - V_{1} )$.
При записи разности $U_{2} - U_{1}$ учтено, что газ одноатомный, а работа газа найдена как площадь трапеции под отрезком 1-a-2. Поскольку $p_{1}V_{2} = p_{2}V_{1}$ (точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат), найдем, что $A_{1-a-2}^{ \prime} = \frac{1}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1} ) = \frac{1}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} )$, откуда получим, что
$Q_{1-a-2} = 2 \nu R (T_{2} - T_{1})$. (1)
Количество теплоты $Q_{1-3-2}$ записываем, также используя первый принцип термодинамики:
$Q_{1-3-2} = U_{2} - U_{1} + A_{3-2}^{ \prime } = 2 \nu R (T_{2} - T_{1}) + p_{2} (V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} ) + \nu RT_{2} \left ( 1 - \frac{V_{1} }{V_{2} } \right )$.
Поскольку в состояниях 1, 2 температура и объем газа связаны соотношением $T = \alpha V^{2}$, то
$\frac{V_{1} }{V_{2} } = \sqrt{ \frac{T_{1} }{T_{2} } }$.
Подставляя эту формулу в выражение для $Q_{1-3-2}$ получаем
$Q_{1-3-2} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1}) + \nu R (T_{2} - \sqrt{T_{1}T_{2} })$.
Выразив из формулы (1) $\nu R$ и подставив численные значения величин, находим, что
$Q_{1-3-2} = \frac{Q_{1-a-2} }{2(T_{2} - T_{1} ) } \left [ \frac{3}{2} (T_{2} - T_{1} ) + (T_{2} - \sqrt{T_{1}T_{2} } ) \right ] = 2250 Дж$.
Одноатомный идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 в одном случае по кривой 1-a-2, которая является участком параболы $T = \alpha V^{2}$, а в другом — по двум прямым отрезкам: 1-3 и 3-2 (см. рис.). Какое количество теплоты получил газ при переходе 1-3-2, если при переходе 1-а-2 к этому газу подведено 2200 Дж тепла? $T_{1} = 250 K, T_{2} = 360 K$.
Решение:
Изобразим процессы i-a-2 и 1-3-2 на плоскости p,V, используя уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$. Для процесса 1-a-2, где $T = \alpha V^{2}$, находим, что $p = \nu R \alpha V$, т. е. на плоскости p, V этот процесс изображается отрезком прямой, проходящей через начало координат (см. рис.). Изохорный процесс 1-3 и изобарный процесс 3-2 изображаются соответственно вертикальным и горизонтальным отрезками.
Согласно первому принципу термодинамики количество теплоты $Q_{1-a-2}$ равно
$Q_{1-a-2} =U_{2} - U_{1} + A_{1-a-2}^{ \prime} = \frac{3}{2} \nu R ( T_{2} - T_{1} ) + \frac{1}{2} (p_{1} + p_{2} )(V_{2} - V_{1} )$.
При записи разности $U_{2} - U_{1}$ учтено, что газ одноатомный, а работа газа найдена как площадь трапеции под отрезком 1-a-2. Поскольку $p_{1}V_{2} = p_{2}V_{1}$ (точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат), найдем, что $A_{1-a-2}^{ \prime} = \frac{1}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1} ) = \frac{1}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} )$, откуда получим, что
$Q_{1-a-2} = 2 \nu R (T_{2} - T_{1})$. (1)
Количество теплоты $Q_{1-3-2}$ записываем, также используя первый принцип термодинамики:
$Q_{1-3-2} = U_{2} - U_{1} + A_{3-2}^{ \prime } = 2 \nu R (T_{2} - T_{1}) + p_{2} (V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} ) + \nu RT_{2} \left ( 1 - \frac{V_{1} }{V_{2} } \right )$.
Поскольку в состояниях 1, 2 температура и объем газа связаны соотношением $T = \alpha V^{2}$, то
$\frac{V_{1} }{V_{2} } = \sqrt{ \frac{T_{1} }{T_{2} } }$.
Подставляя эту формулу в выражение для $Q_{1-3-2}$ получаем
$Q_{1-3-2} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1}) + \nu R (T_{2} - \sqrt{T_{1}T_{2} })$.
Выразив из формулы (1) $\nu R$ и подставив численные значения величин, находим, что
$Q_{1-3-2} = \frac{Q_{1-a-2} }{2(T_{2} - T_{1} ) } \left [ \frac{3}{2} (T_{2} - T_{1} ) + (T_{2} - \sqrt{T_{1}T_{2} } ) \right ] = 2250 Дж$.
