Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6811
2018-03-18 
Показать, что при абсолютно упругом ударе (не обязательно центральном) гладких шаров сохраняется их относительная скорость.
Решение:
Пусть шарики, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$, имеют до удара скорости $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, а после удара $\vec{V}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{V}_{2}^{ \prime}$ соответственно. Удар не изменит общий импульс и кинетическую энергию системы:
$m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2} = m_{1} \vec{V}_{1}^{ \prime} + m_{2}V_{2}^{ \prime}$, (1)
$\frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} = \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{1}V_{2}^{ \prime 2} }{2}$. (2)
Поскольку импульс системы сохраняется, скорость центра масс двух шариков также не изменится в результате удара:
$\vec{V}_{c} = \frac{m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2} }{m_{1} + m_{2} } = const$. (3)
Свяжем подвижную систему координат с центром масс. Поскольку центр масс движется равномерно, эта система координат является инерциальной. Таким образом, в центромассовой системе соотношения (1) и (2) будут выполняться. Поскольку в центромассовой системе общий импульс шаров равен нулю (см. выражение (3)), импульсы шаров в этой системе координат, как до удара, так и после равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Выразим кинетическую энергию любого из шаров через его импульс и массу и запишем закон сохранения энергии:
$\frac{p_{1c}^{2} }{2m_{1}} + \frac{p_{2c}^{2} }{2m_{2}} = \frac{p_{1c}^{ \prime 2} }{2m_{1}} + \frac{p_{1c}^{ \prime 2} }{2m_{1}}. (2^{ \prime} )$
Здесь $p_{1c}$ и $p_{1c}^{ \prime}$ — импульсы первого шара в центромассовой системе до и после соударения, $p_{2c}$ и $p_{2c}^{ \prime}$ — импульсы второго шара. Поскольку $p_{1c} = p_{2c}$ и $p_{1c}^{ \prime} = p_{2c}^{ \prime}$, то из соотношения ($2^{ \prime}$) следует, что импульс любого из шаров меняется только по направлению: $p_{1c} = p_{1c}^{ \prime}$ и $p_{2c} = p_{2c}^{ \prime}$. Учитывая, что импульсы шаров равны по абсолютной величине и противоположны по направлению, величину относительной скорости можно выразить через импульс любого шара следующим образом:
$V_{ отн} = p_{1c}/m_{1} + p_{1c}/m_{2} = p_{1c}(1/m_{1} + 1/m_{2}) = p_{1c}^{ \prime} (1/m_{1} + 1/m_{2} )$. (4)
Соотношение (4) показывает, что относительная скорость не меняется при ударе. Однако, это верно и в неподвижной системе координат, поскольку величина относительной скорости не зависит от скорости движения самой системы координат.
Показать, что при абсолютно упругом ударе (не обязательно центральном) гладких шаров сохраняется их относительная скорость.
Решение:
Пусть шарики, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$, имеют до удара скорости $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, а после удара $\vec{V}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{V}_{2}^{ \prime}$ соответственно. Удар не изменит общий импульс и кинетическую энергию системы:
$m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2} = m_{1} \vec{V}_{1}^{ \prime} + m_{2}V_{2}^{ \prime}$, (1)
$\frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} = \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{1}V_{2}^{ \prime 2} }{2}$. (2)
Поскольку импульс системы сохраняется, скорость центра масс двух шариков также не изменится в результате удара:
$\vec{V}_{c} = \frac{m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2} }{m_{1} + m_{2} } = const$. (3)
Свяжем подвижную систему координат с центром масс. Поскольку центр масс движется равномерно, эта система координат является инерциальной. Таким образом, в центромассовой системе соотношения (1) и (2) будут выполняться. Поскольку в центромассовой системе общий импульс шаров равен нулю (см. выражение (3)), импульсы шаров в этой системе координат, как до удара, так и после равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Выразим кинетическую энергию любого из шаров через его импульс и массу и запишем закон сохранения энергии:
$\frac{p_{1c}^{2} }{2m_{1}} + \frac{p_{2c}^{2} }{2m_{2}} = \frac{p_{1c}^{ \prime 2} }{2m_{1}} + \frac{p_{1c}^{ \prime 2} }{2m_{1}}. (2^{ \prime} )$
Здесь $p_{1c}$ и $p_{1c}^{ \prime}$ — импульсы первого шара в центромассовой системе до и после соударения, $p_{2c}$ и $p_{2c}^{ \prime}$ — импульсы второго шара. Поскольку $p_{1c} = p_{2c}$ и $p_{1c}^{ \prime} = p_{2c}^{ \prime}$, то из соотношения ($2^{ \prime}$) следует, что импульс любого из шаров меняется только по направлению: $p_{1c} = p_{1c}^{ \prime}$ и $p_{2c} = p_{2c}^{ \prime}$. Учитывая, что импульсы шаров равны по абсолютной величине и противоположны по направлению, величину относительной скорости можно выразить через импульс любого шара следующим образом:
$V_{ отн} = p_{1c}/m_{1} + p_{1c}/m_{2} = p_{1c}(1/m_{1} + 1/m_{2}) = p_{1c}^{ \prime} (1/m_{1} + 1/m_{2} )$. (4)
Соотношение (4) показывает, что относительная скорость не меняется при ударе. Однако, это верно и в неподвижной системе координат, поскольку величина относительной скорости не зависит от скорости движения самой системы координат.
