Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6806
2018-03-18 
На дне цилиндрического сосуда, в который налиты несмешивающиеся вода и масло, лежит куб со стороной $a$; уровни воды и масла указаны на рисунке. Поперечное сечение сосуда равно $3a^{2}$. Какую наименьшую работу необходимо совершить, чтобы вытащить куб из жидкости? Плотность воды $\rho$, масла $0,8 \rho$, плотность материала куба $2 \rho$.
Решение:
Наименьшая работа соответствует медленному вытаскиванию куба до положения, когда его нижняя грань будет находиться вровень с верхней границей масла. Эта работа равна увеличению потенциальной энергии системы «куб-масло-вода» в поле силы тяжести Земли:
$A = W_{п2} - W_{п1}$.
Чтобы найти $W_{п2} - W_{п1}$, рассчитаем, на какую высоту нужно поднять куб и на сколько при этом опустятся центры тяжести воды и масла. После вытаскивания куба на дне сосуда будет слой воды толщины $d_{в} = a/3$, которая находится из условия сохранения объема воды
$d_{в}3a^{2} = \frac{a}{2} (3a^{2} - a^{2})$.
Толщина слоя масла $d_{м}$ после вытаскивания куба находится из аналогичного уравнения
$d_{м}3a^{2} = \frac{a}{2} 3a^{2} + \frac{a}{2} (3a^{2} - a^{2})$
и равна $d_{м} = 5a/6$.
Толщина слоя всей жидкости после вытаскивания куба будет равна
$d = d_{в} + d_{м} = \frac{a}{3} + \frac{5a}{6} = \frac{7a}{6}$,
на такую высоту и следует поднять куб. Тогда увеличение его потенциальной энергии составит
$2 \rho ga^{3}d = \frac{7}{3} \rho ga^{4}$,
где $g$— ускорение свободного падения. Центр тяжести воды опустится на
$h_{в} = \frac{a}{4} - \frac{1}{2} d_{в} = \frac{a}{4} - \frac{a}{6} = \frac{a}{12}$,
а ее потенциальная энергия уменьшится на величину ($g$ - ускорение свободного падения)
$\rho g3a^{2} \frac{a}{3} \Delta h_{в} = \rho g \frac{a^{4} }{12}$.
Найдем теперь уменьшение потенциальной энергии масла. До вытаскивания куба потенциальная энергия (отсчитываемая от дна сосуда) равнялась
$0,8 \rho g \left (3a^{2} \frac{a}{2} \frac{5a}{4} + 2a^{2} \frac{a}{2} \frac{3a}{4} \right ) = 2,1 \rho ga^{4}$.
После извлечения куба потенциальная энергия масла будет равна
$0,8 \rho g3a^{2} \frac{5a}{6} \frac{3a}{4} = 1,5 \rho g a^{4}$.
Таким образом, потенциальная энергия масла уменьшится на $0,6 \rho ga^{4}$. Суммируя (с учетом знака) изменения потенциальных энергий отдельных частей системы (куба, воды, масла), находим необходимую работу:
$A = \frac{7}{3} \rho ga^{4} - \frac{1}{12} \rho ga^{4} - 0,6 \rho ga^{4} = 1,65 \rho ga^{4}$.
На дне цилиндрического сосуда, в который налиты несмешивающиеся вода и масло, лежит куб со стороной $a$; уровни воды и масла указаны на рисунке. Поперечное сечение сосуда равно $3a^{2}$. Какую наименьшую работу необходимо совершить, чтобы вытащить куб из жидкости? Плотность воды $\rho$, масла $0,8 \rho$, плотность материала куба $2 \rho$.
Решение:
Наименьшая работа соответствует медленному вытаскиванию куба до положения, когда его нижняя грань будет находиться вровень с верхней границей масла. Эта работа равна увеличению потенциальной энергии системы «куб-масло-вода» в поле силы тяжести Земли:
$A = W_{п2} - W_{п1}$.
Чтобы найти $W_{п2} - W_{п1}$, рассчитаем, на какую высоту нужно поднять куб и на сколько при этом опустятся центры тяжести воды и масла. После вытаскивания куба на дне сосуда будет слой воды толщины $d_{в} = a/3$, которая находится из условия сохранения объема воды
$d_{в}3a^{2} = \frac{a}{2} (3a^{2} - a^{2})$.
Толщина слоя масла $d_{м}$ после вытаскивания куба находится из аналогичного уравнения
$d_{м}3a^{2} = \frac{a}{2} 3a^{2} + \frac{a}{2} (3a^{2} - a^{2})$
и равна $d_{м} = 5a/6$.
Толщина слоя всей жидкости после вытаскивания куба будет равна
$d = d_{в} + d_{м} = \frac{a}{3} + \frac{5a}{6} = \frac{7a}{6}$,
на такую высоту и следует поднять куб. Тогда увеличение его потенциальной энергии составит
$2 \rho ga^{3}d = \frac{7}{3} \rho ga^{4}$,
где $g$— ускорение свободного падения. Центр тяжести воды опустится на
$h_{в} = \frac{a}{4} - \frac{1}{2} d_{в} = \frac{a}{4} - \frac{a}{6} = \frac{a}{12}$,
а ее потенциальная энергия уменьшится на величину ($g$ - ускорение свободного падения)
$\rho g3a^{2} \frac{a}{3} \Delta h_{в} = \rho g \frac{a^{4} }{12}$.
Найдем теперь уменьшение потенциальной энергии масла. До вытаскивания куба потенциальная энергия (отсчитываемая от дна сосуда) равнялась
$0,8 \rho g \left (3a^{2} \frac{a}{2} \frac{5a}{4} + 2a^{2} \frac{a}{2} \frac{3a}{4} \right ) = 2,1 \rho ga^{4}$.
После извлечения куба потенциальная энергия масла будет равна
$0,8 \rho g3a^{2} \frac{5a}{6} \frac{3a}{4} = 1,5 \rho g a^{4}$.
Таким образом, потенциальная энергия масла уменьшится на $0,6 \rho ga^{4}$. Суммируя (с учетом знака) изменения потенциальных энергий отдельных частей системы (куба, воды, масла), находим необходимую работу:
$A = \frac{7}{3} \rho ga^{4} - \frac{1}{12} \rho ga^{4} - 0,6 \rho ga^{4} = 1,65 \rho ga^{4}$.
