Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6805
2018-03-18 
Два одинаковых шарика могут свободно вращаться на невесомом жестком стержне вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его середину. Третий такой же шарик, падающий вертикально, абсолютно упруго соударяется с правым шариком (см. рис.). Скорость налетающего шарика равна $\vec{V}$; линия, проходящая в момент удара через центры шаров, наклонена под углом $45^{ \circ}$ к вертикали. Найти скорость налетевшего шарика после удара, если перед столкновением шарики на стержне покоились и стержень был расположен горизонтально. Радиусы шариков малы по сравнению с длиной стержня.
Решение:
Обозначим скорости шариков сразу после удара следующим образом (см. рис.): $U$ — скорость шариков, скрепленных со стержнем, $V$ — скорость налетевшего шарика. Из закона сохранения энергии (удар абсолютно упругий) следует равенство
$2U^{2} + V^{2} = V_{0}^{2}$. (1)
Рассмотрим упругие силы, действующие на шарики в процессе ударного взаимодействия (из-за кратковременности взаимодействия силами тяжести пренебрегаем). Силы взаимодействия налетающего и правого шариков $\vec{F}$ и $- \vec{F}$ направлены вдоль линии, проходящей через центры этих шариков (см. рис.). Перпендикулярные к стержню компоненты сил, действующих на шарики со стороны стержня, равны между собой вследствие невесомости стержня (на рисунке обозначены через $F_{0}$). Поскольку упругие силы меняются в процессе удара, под $F$ и $F_{0}$ понимаем средние за время удара $\Delta t$ значения этих сил. Изменения импульсов левого и правого шариков, а также x- и у-компонент импульса налетевшего шарика (оси см. на рис.), записываются через импульсы упругих сил следующим образом ($m$ - масса шарика):
$mU = F_{0} \Delta t$, (2)
$mU = \left ( F \frac{ \sqrt{2} }{2} - F_{0} \right ) \Delta t$, (3)
$mV_{x} = F \frac{ \sqrt{2} }{2} \Delta t$, (4)
$mV_{y} - mV_{0} = - F \frac{ \sqrt{2} }{2} \Delta t$. (5)
Исключая из выражений (2)-(5) импульсы сил, выражаем компоненты вектора скорости налетевшего шарика:
$V_{x} = 2U, V_{y} = V_{0} - 2U$.
Возводя эти соотношения в квадрат и складывая их, получаем
$V^{2} = V_{0}^{2} + 8U^{2} - 4V_{0}U$.
Используя равенство (1), отсюда находим
$V = \frac{ \sqrt{17} }{5} V_{0}$.
Два одинаковых шарика могут свободно вращаться на невесомом жестком стержне вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его середину. Третий такой же шарик, падающий вертикально, абсолютно упруго соударяется с правым шариком (см. рис.). Скорость налетающего шарика равна $\vec{V}$; линия, проходящая в момент удара через центры шаров, наклонена под углом $45^{ \circ}$ к вертикали. Найти скорость налетевшего шарика после удара, если перед столкновением шарики на стержне покоились и стержень был расположен горизонтально. Радиусы шариков малы по сравнению с длиной стержня.
Решение:
Обозначим скорости шариков сразу после удара следующим образом (см. рис.): $U$ — скорость шариков, скрепленных со стержнем, $V$ — скорость налетевшего шарика. Из закона сохранения энергии (удар абсолютно упругий) следует равенство
$2U^{2} + V^{2} = V_{0}^{2}$. (1)
Рассмотрим упругие силы, действующие на шарики в процессе ударного взаимодействия (из-за кратковременности взаимодействия силами тяжести пренебрегаем). Силы взаимодействия налетающего и правого шариков $\vec{F}$ и $- \vec{F}$ направлены вдоль линии, проходящей через центры этих шариков (см. рис.). Перпендикулярные к стержню компоненты сил, действующих на шарики со стороны стержня, равны между собой вследствие невесомости стержня (на рисунке обозначены через $F_{0}$). Поскольку упругие силы меняются в процессе удара, под $F$ и $F_{0}$ понимаем средние за время удара $\Delta t$ значения этих сил. Изменения импульсов левого и правого шариков, а также x- и у-компонент импульса налетевшего шарика (оси см. на рис.), записываются через импульсы упругих сил следующим образом ($m$ - масса шарика):
$mU = F_{0} \Delta t$, (2)
$mU = \left ( F \frac{ \sqrt{2} }{2} - F_{0} \right ) \Delta t$, (3)
$mV_{x} = F \frac{ \sqrt{2} }{2} \Delta t$, (4)
$mV_{y} - mV_{0} = - F \frac{ \sqrt{2} }{2} \Delta t$. (5)
Исключая из выражений (2)-(5) импульсы сил, выражаем компоненты вектора скорости налетевшего шарика:
$V_{x} = 2U, V_{y} = V_{0} - 2U$.
Возводя эти соотношения в квадрат и складывая их, получаем
$V^{2} = V_{0}^{2} + 8U^{2} - 4V_{0}U$.
Используя равенство (1), отсюда находим
$V = \frac{ \sqrt{17} }{5} V_{0}$.
