Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6804
2018-03-18 
Брусок, к вертикальной стойке которого невесомой нитью прикреплен шарик, покоится на горизонтальном столе. Нить с шариком отклонили до горизонтального положения (см. рис.) и отпустили. Каким должен быть наименьший коэффициент трения между бруском и столом, чтобы при колебаниях шарика брусок оставался неподвижным? Отношение массы шарика к массе бруска равно $\gamma$. Считать, что при колебаниях шарик не задевает стойку.
Решение:
Рассмотрим произвольный момент времени, когда нить образует с горизонтом некоторый угол $\alpha$. Из второго закона Ньютона для шарика с учетом сохранения энергии находим силу натяжения нити: $F_{н} = 3mg \sin \alpha$ где $m$ - масса шарика. Брусок остается неподвижным, следовательно, сила трения компенсирует горизонтальную проекцию силы натяжения: $F_{тр} = 3mg \sin \alpha \cos \alpha$. Поскольку $F_{тр} \leq \mu N$, а сила нормального давления $N$ равна $mg(3 \sin^{2} \alpha + 1/ \gamma)$,то
$\mu \geq \frac{3 \gamma \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 3 \gamma \sin^{2} \alpha }$.
Данное соотношение еще не дает решения, поскольку в правую часть входит произвольный угол $\alpha$. Необходимо найти максимум правой части и уже затем определить $\mu$. Вместо стандартной процедуры взятия производной по $\alpha$ и приравнивания ее к нулю возможен более простой способ — несложным преобразованием сделать максимум правой части самоочевидным:
$\frac{3 \gamma \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 3 \gamma \sin^{2} \alpha } = \frac{3 \gamma}{ \frac{1}{ \sin \alpha \cos \alpha } + 3 \gamma tg \alpha } = \frac{3 \gamma }{ \frac{1}{tg \alpha} + (3 \gamma + 1) tg \alpha } = \frac{3 \gamma}{ \sqrt{3 \gamma + 1} \left ( \frac{1}{ tg \alpha \sqrt{ 3 \gamma + 1 } } + tg \alpha \sqrt{ 3 \gamma + 1 } \right ) }$.
Минимальное значение выражения в скобках, где стоит сумма взаимообратных положительных величин, равно 2. Следовательно,
$\mu \geq \frac{3 \gamma}{ 2 \sqrt{3 \gamma + 1} }$.
Брусок, к вертикальной стойке которого невесомой нитью прикреплен шарик, покоится на горизонтальном столе. Нить с шариком отклонили до горизонтального положения (см. рис.) и отпустили. Каким должен быть наименьший коэффициент трения между бруском и столом, чтобы при колебаниях шарика брусок оставался неподвижным? Отношение массы шарика к массе бруска равно $\gamma$. Считать, что при колебаниях шарик не задевает стойку.
Решение:
Рассмотрим произвольный момент времени, когда нить образует с горизонтом некоторый угол $\alpha$. Из второго закона Ньютона для шарика с учетом сохранения энергии находим силу натяжения нити: $F_{н} = 3mg \sin \alpha$ где $m$ - масса шарика. Брусок остается неподвижным, следовательно, сила трения компенсирует горизонтальную проекцию силы натяжения: $F_{тр} = 3mg \sin \alpha \cos \alpha$. Поскольку $F_{тр} \leq \mu N$, а сила нормального давления $N$ равна $mg(3 \sin^{2} \alpha + 1/ \gamma)$,то
$\mu \geq \frac{3 \gamma \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 3 \gamma \sin^{2} \alpha }$.
Данное соотношение еще не дает решения, поскольку в правую часть входит произвольный угол $\alpha$. Необходимо найти максимум правой части и уже затем определить $\mu$. Вместо стандартной процедуры взятия производной по $\alpha$ и приравнивания ее к нулю возможен более простой способ — несложным преобразованием сделать максимум правой части самоочевидным:
$\frac{3 \gamma \sin \alpha \cos \alpha}{1 + 3 \gamma \sin^{2} \alpha } = \frac{3 \gamma}{ \frac{1}{ \sin \alpha \cos \alpha } + 3 \gamma tg \alpha } = \frac{3 \gamma }{ \frac{1}{tg \alpha} + (3 \gamma + 1) tg \alpha } = \frac{3 \gamma}{ \sqrt{3 \gamma + 1} \left ( \frac{1}{ tg \alpha \sqrt{ 3 \gamma + 1 } } + tg \alpha \sqrt{ 3 \gamma + 1 } \right ) }$.
Минимальное значение выражения в скобках, где стоит сумма взаимообратных положительных величин, равно 2. Следовательно,
$\mu \geq \frac{3 \gamma}{ 2 \sqrt{3 \gamma + 1} }$.
