Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6801
2018-03-18 
Три шарика, электрические заряды которых равны, связаны тремя нитями одинаковой длины и покоятся на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). Массы двух шариков одинаковы и равны $m$. Нить, соединяющую эти два шарика, пережигают. При каких значениях массы $M$ третьего шарика скорости шариков массой $m$ будут максимальны в момент времени, когда все три шарика окажутся на одной прямой?
Решение:
Рассмотрим движение заряженных шариков в некоторый момент времени после пережигания нити (см. рис.). Пусть $\vec{V}$ и $\vec{u}$ — соответственно скорости шарика массой $M$ и правого шарика массой $m$ в неподвижной системе отсчета, а $\vec{u}^{ \prime}$ — скорость правого шарика в движущейся системе отсчета, связанной с центральным шариком $M$. Тогда
$u^{ \prime} \sin \alpha = u_{x}$, (1)
$u^{ \prime} \cos \alpha - V = u_{y}$ (2)
(угол $\alpha$ указан на рисунке). Выразим из соотношений (1) и (2) $tg \alpha$
$tg \alpha = \frac{u_{x} }{u_{y} + V }$. (3)
Воспользуемся далее законом сохранения импульса:
$MV = 2mu_{y}$.
Обозначая $2m/M$ через $\mu$ и подставляя в формулу (3) вместо $V$ величину $\mu u_{y}$, выразим $tg \alpha$ через $u_{x}$ и $u_{y}$:
$tg \alpha = \frac{u_{x} }{u_{y} ( 1 + \mu) }$. (4)
Напишем теперь закон сохранения механической энергии:
$\frac{mu^{2} }{2} + \frac{mu^{2} }{2} + \frac{MV^{2} }{2} = \left ( \frac{q^{2} }{L} - \frac{q^{2} }{2L \cos \alpha } \right ) \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$,
где $L$ - длина нити, а $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Поскольку $V =\mu u_{y}$ и $u^{2} = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$, можно с помощью соотношения (4) выразить $V^{2}$ через $\alpha$ и $u^{2}$:
$V^{2} = \frac{ \mu^{2} u^{2} }{ 1 + (1 + \mu )^{2} tg^{2} \alpha }$.
Подставляя данное выражение в закон сохранения энергии, получаем для $u^{2}$ формулу
$u^{2} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} mL } \frac{1 - \frac{1}{2 \cos \alpha } }{ 1 + \frac{ \mu}{ 1 + (1 + \mu )^{2} tg^{2} \alpha } }$.
Для исследования данного выражения на экстремум удобно вместо угла $\alpha$ ввести новую переменную $\eta = 1/ \cos \alpha$. Тогда формула для $u^{2}$ примет вид
$u^{2} = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} mL (1 + \mu ) } \frac{(2 - \eta)[ 1 + (1 + \mu)^{2}( \eta^{2} - 1 ) ] }{1 + (1 + \mu)( \eta^{2} - 1 ) }$.
В процессе движения шариков аргумент $\eta$ функции $u^{2}( \eta)$ сначала убывает от начального значения, равного двум (при $\alpha = 60^{ \circ}$), до единицы (при $\alpha = 0$), а затем снова начинает возрастать. Функция $u^{2}( \eta)$, в зависимости от значения параметра $\mu$, может либо монотонно нарастать при уменьшении аргумента $\eta$, либо иметь максимум на интервале $1 < \eta < 2$ (в этом можно убедиться, строя графики зависимости $u^{2}( \eta)$ при различных значениях $\mu$). Чтобы найти значения параметра $\mu$, при которых максимум функции $u^{2} ( \eta)$ достигается при $\eta = 1$ (т. е. когда $\alpha = 0$ и все шарики расположены на одной прямой), продифференцируем $u^{2}( \eta)$ по $\eta$, приравняем производную к нулю и затем, полагая $\eta = 1$, получим уравнение для $\mu$:
$- 1 + 2 (1 + \mu)^{2} - 2 (1 + \mu) = 0$. (5)
Решая уравнение (5) и выбирая положительный корень, находим
$\mu = \frac{ \sqrt{3} - 1}{2} \approx 0,35$.
При $\mu$, меньших найденного значения, функция $u^{2}( \eta)$ также имеет максимум в точке $\eta = 1$, но производная этой функции в данной точке уже не равняется нулю (например, в пределе $\mu \rightarrow 0$ функция $u^{2}( \eta)$ линейно зависит от $\eta$). Таким образом, максимум скорости шариков массой $m$ достигается при $\alpha = 0$ (все шарики расположены на одной прямой) в том случае, когда
$0 \leq \frac{2m}{M} \leq \frac{ \sqrt{3} - 1 }{2}$. (6)
Примечание. В известном задачнике Савченко (Задачи по физике / Под ред. О.Я.Савченко. 2-е изд. М.: Наука. 1988) рассматривается движение системы трех заряженных шариков c равными массами. Приведенный в задачнике ответ подразумевает, что максимум скорости шариков достигается в тот момент, когда все шарики расположены на одной прямой ($\alpha = 0$ в наших обозначениях). Как ясно из приведенного выше решения, данный ответ является ошибочным, поскольку при $M = m$ неравенство (6) не выполняется и максимум скорости крайних шариков достигается не при $\alpha = 0$. При равных массах шариков в момент, когда все шарики располагаются на одной прямой ($\alpha = 0$), центральный шарик имеет максимальную скорость, а скорости крайних шариков имеют локальный минимум.
Три шарика, электрические заряды которых равны, связаны тремя нитями одинаковой длины и покоятся на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). Массы двух шариков одинаковы и равны $m$. Нить, соединяющую эти два шарика, пережигают. При каких значениях массы $M$ третьего шарика скорости шариков массой $m$ будут максимальны в момент времени, когда все три шарика окажутся на одной прямой?
Решение:
Рассмотрим движение заряженных шариков в некоторый момент времени после пережигания нити (см. рис.). Пусть $\vec{V}$ и $\vec{u}$ — соответственно скорости шарика массой $M$ и правого шарика массой $m$ в неподвижной системе отсчета, а $\vec{u}^{ \prime}$ — скорость правого шарика в движущейся системе отсчета, связанной с центральным шариком $M$. Тогда
$u^{ \prime} \sin \alpha = u_{x}$, (1)
$u^{ \prime} \cos \alpha - V = u_{y}$ (2)
(угол $\alpha$ указан на рисунке). Выразим из соотношений (1) и (2) $tg \alpha$
$tg \alpha = \frac{u_{x} }{u_{y} + V }$. (3)
Воспользуемся далее законом сохранения импульса:
$MV = 2mu_{y}$.
Обозначая $2m/M$ через $\mu$ и подставляя в формулу (3) вместо $V$ величину $\mu u_{y}$, выразим $tg \alpha$ через $u_{x}$ и $u_{y}$:
$tg \alpha = \frac{u_{x} }{u_{y} ( 1 + \mu) }$. (4)
Напишем теперь закон сохранения механической энергии:
$\frac{mu^{2} }{2} + \frac{mu^{2} }{2} + \frac{MV^{2} }{2} = \left ( \frac{q^{2} }{L} - \frac{q^{2} }{2L \cos \alpha } \right ) \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$,
где $L$ - длина нити, а $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Поскольку $V =\mu u_{y}$ и $u^{2} = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$, можно с помощью соотношения (4) выразить $V^{2}$ через $\alpha$ и $u^{2}$:
$V^{2} = \frac{ \mu^{2} u^{2} }{ 1 + (1 + \mu )^{2} tg^{2} \alpha }$.
Подставляя данное выражение в закон сохранения энергии, получаем для $u^{2}$ формулу
$u^{2} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} mL } \frac{1 - \frac{1}{2 \cos \alpha } }{ 1 + \frac{ \mu}{ 1 + (1 + \mu )^{2} tg^{2} \alpha } }$.
Для исследования данного выражения на экстремум удобно вместо угла $\alpha$ ввести новую переменную $\eta = 1/ \cos \alpha$. Тогда формула для $u^{2}$ примет вид
$u^{2} = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} mL (1 + \mu ) } \frac{(2 - \eta)[ 1 + (1 + \mu)^{2}( \eta^{2} - 1 ) ] }{1 + (1 + \mu)( \eta^{2} - 1 ) }$.
В процессе движения шариков аргумент $\eta$ функции $u^{2}( \eta)$ сначала убывает от начального значения, равного двум (при $\alpha = 60^{ \circ}$), до единицы (при $\alpha = 0$), а затем снова начинает возрастать. Функция $u^{2}( \eta)$, в зависимости от значения параметра $\mu$, может либо монотонно нарастать при уменьшении аргумента $\eta$, либо иметь максимум на интервале $1 < \eta < 2$ (в этом можно убедиться, строя графики зависимости $u^{2}( \eta)$ при различных значениях $\mu$). Чтобы найти значения параметра $\mu$, при которых максимум функции $u^{2} ( \eta)$ достигается при $\eta = 1$ (т. е. когда $\alpha = 0$ и все шарики расположены на одной прямой), продифференцируем $u^{2}( \eta)$ по $\eta$, приравняем производную к нулю и затем, полагая $\eta = 1$, получим уравнение для $\mu$:
$- 1 + 2 (1 + \mu)^{2} - 2 (1 + \mu) = 0$. (5)
Решая уравнение (5) и выбирая положительный корень, находим
$\mu = \frac{ \sqrt{3} - 1}{2} \approx 0,35$.
При $\mu$, меньших найденного значения, функция $u^{2}( \eta)$ также имеет максимум в точке $\eta = 1$, но производная этой функции в данной точке уже не равняется нулю (например, в пределе $\mu \rightarrow 0$ функция $u^{2}( \eta)$ линейно зависит от $\eta$). Таким образом, максимум скорости шариков массой $m$ достигается при $\alpha = 0$ (все шарики расположены на одной прямой) в том случае, когда
$0 \leq \frac{2m}{M} \leq \frac{ \sqrt{3} - 1 }{2}$. (6)
Примечание. В известном задачнике Савченко (Задачи по физике / Под ред. О.Я.Савченко. 2-е изд. М.: Наука. 1988) рассматривается движение системы трех заряженных шариков c равными массами. Приведенный в задачнике ответ подразумевает, что максимум скорости шариков достигается в тот момент, когда все шарики расположены на одной прямой ($\alpha = 0$ в наших обозначениях). Как ясно из приведенного выше решения, данный ответ является ошибочным, поскольку при $M = m$ неравенство (6) не выполняется и максимум скорости крайних шариков достигается не при $\alpha = 0$. При равных массах шариков в момент, когда все шарики располагаются на одной прямой ($\alpha = 0$), центральный шарик имеет максимальную скорость, а скорости крайних шариков имеют локальный минимум.
