Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6797
2018-03-18 
Гладкий шар массой $M$ и радиусом $R$ лежит на гладком горизонтальном столе. С вершины шара начинает свободно соскальзывать небольшое тело массой $m$. При каком отношении масс $m/M$ тело оторвется от шара на высоте $7R/4$ над столом?
Решение:
Наиболее изящное решение задачи получается в специально подобранной подвижной (но инерциальной!) системе координат. Заметим, прежде всего что шар не будет вращаться, так как моменты действующих на него сил равны нулю относительно оси, проходящей перпендикулярно чертежу через центр шара. Таким образом, шар будет двигаться поступательно и ускоренно влево (см.рис.) под действием горизонтальной компоненты силы со стороны тела $m$. Обозначим скорость шара в момент отрыва через $V$. Выберем подвижную инерциальную систему координат, которая также движется влево со скоростью $V$, т. е. со скоростью шара, оторвавшегося от тела. Поскольку система координат инерциальная, то в ней выполняются законы Ньютона и законы сохранения. В этой системе условие отрыва запишется следующим образом:
$\frac{mu^{2} }{R} = mg \cos \alpha$, (1)
где $u$ — скорость тела в подвижной системе отсчета в момент отрыва от шара. Сохранение горизонтальной компоненты импульса системы «шар-тело» приводит к равенству
$(m + M) V = mu \cos \alpha$. (2)
В левой части соотношения (2) записан импульс системы «шар-тело» в начальном состоянии, когда тело и шар покоились относительно земли (но двигались со скоростью $V$ относительно подвижной системы координат). В правой части стоит горизонтальная проекция импульса тела в момент отрыва (когда шар в подвижной системе остановился). Закон сохранения механической энергии выражается равенством
$\frac{(m + M)V^{2}}{2} + mgR (1 - \cos \alpha ) = \frac{mu^{2} }{2}$. (3)
Учитывая, что в момент отрыва $\cos \alpha = 3/4$, и исключая радиус $R$, из соотношений (1) и (3) получаем
$\frac{(m + M)V^{2} }{2} = \frac{mu^{2} }{5}$. (4)
Отсюда с учетом равенства (2) находим отношение $m/M$:
$\frac{m}{M} = \frac{16}{11}$.
Приведем кратко другой способ решения задачи. Записывая законы сохранения энергии и проекции импульса в неподвижной системе отсчета, выразим скорость шара $V$ в произвольный момент времени до отрыва тела через угол $\alpha$:
$V^{2} = \frac{2gR (1 - \cos \alpha) m/M}{(1 + m/M) (1 +(1 + m/M)tg^{2} \alpha)}$. (5)
В момент отрыва тела скорость шара и, следовательно, квадрат этой скорости достигают максимального значения, поскольку после отрыва тела шар перестает разгоняться силой давления со стороны тела. Поэтому в момент отрыва производная $\frac{d(V^{2} ) }{dt} = 0$. Учитывая, что $\frac{d(V^{2} ) }{dt} = \frac{ d (V^{2} ) }{d \alpha} \frac{d \alpha}{dt} $ и $\frac{d \alpha}{dt} = \frac{u}{R} = 0$, приходим к условию $\frac{d (V^{2} ) }{d \alpha} = 0$ в момент отрыва. Дифференцируя соотношение (5) по углу $\alpha$, получаем уравнение для искомого отношения масс $m/M$:
$1 + (1 + m/M)tg^{2} \alpha - (1 - \cos \alpha)(1 + m/M) 2/ \cos^{3} \alpha = 0$.
Подставляя сюда $\cos \alpha = 3/4$ и $tg^{2} \alpha = 7/9$, находим, что $m/M = 16/11$.
Гладкий шар массой $M$ и радиусом $R$ лежит на гладком горизонтальном столе. С вершины шара начинает свободно соскальзывать небольшое тело массой $m$. При каком отношении масс $m/M$ тело оторвется от шара на высоте $7R/4$ над столом?
Решение:
Наиболее изящное решение задачи получается в специально подобранной подвижной (но инерциальной!) системе координат. Заметим, прежде всего что шар не будет вращаться, так как моменты действующих на него сил равны нулю относительно оси, проходящей перпендикулярно чертежу через центр шара. Таким образом, шар будет двигаться поступательно и ускоренно влево (см.рис.) под действием горизонтальной компоненты силы со стороны тела $m$. Обозначим скорость шара в момент отрыва через $V$. Выберем подвижную инерциальную систему координат, которая также движется влево со скоростью $V$, т. е. со скоростью шара, оторвавшегося от тела. Поскольку система координат инерциальная, то в ней выполняются законы Ньютона и законы сохранения. В этой системе условие отрыва запишется следующим образом:
$\frac{mu^{2} }{R} = mg \cos \alpha$, (1)
где $u$ — скорость тела в подвижной системе отсчета в момент отрыва от шара. Сохранение горизонтальной компоненты импульса системы «шар-тело» приводит к равенству
$(m + M) V = mu \cos \alpha$. (2)
В левой части соотношения (2) записан импульс системы «шар-тело» в начальном состоянии, когда тело и шар покоились относительно земли (но двигались со скоростью $V$ относительно подвижной системы координат). В правой части стоит горизонтальная проекция импульса тела в момент отрыва (когда шар в подвижной системе остановился). Закон сохранения механической энергии выражается равенством
$\frac{(m + M)V^{2}}{2} + mgR (1 - \cos \alpha ) = \frac{mu^{2} }{2}$. (3)
Учитывая, что в момент отрыва $\cos \alpha = 3/4$, и исключая радиус $R$, из соотношений (1) и (3) получаем
$\frac{(m + M)V^{2} }{2} = \frac{mu^{2} }{5}$. (4)
Отсюда с учетом равенства (2) находим отношение $m/M$:
$\frac{m}{M} = \frac{16}{11}$.
Приведем кратко другой способ решения задачи. Записывая законы сохранения энергии и проекции импульса в неподвижной системе отсчета, выразим скорость шара $V$ в произвольный момент времени до отрыва тела через угол $\alpha$:
$V^{2} = \frac{2gR (1 - \cos \alpha) m/M}{(1 + m/M) (1 +(1 + m/M)tg^{2} \alpha)}$. (5)
В момент отрыва тела скорость шара и, следовательно, квадрат этой скорости достигают максимального значения, поскольку после отрыва тела шар перестает разгоняться силой давления со стороны тела. Поэтому в момент отрыва производная $\frac{d(V^{2} ) }{dt} = 0$. Учитывая, что $\frac{d(V^{2} ) }{dt} = \frac{ d (V^{2} ) }{d \alpha} \frac{d \alpha}{dt} $ и $\frac{d \alpha}{dt} = \frac{u}{R} = 0$, приходим к условию $\frac{d (V^{2} ) }{d \alpha} = 0$ в момент отрыва. Дифференцируя соотношение (5) по углу $\alpha$, получаем уравнение для искомого отношения масс $m/M$:
$1 + (1 + m/M)tg^{2} \alpha - (1 - \cos \alpha)(1 + m/M) 2/ \cos^{3} \alpha = 0$.
Подставляя сюда $\cos \alpha = 3/4$ и $tg^{2} \alpha = 7/9$, находим, что $m/M = 16/11$.
