Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6796
2018-03-18 
Шарик, висящий на нити длиной $L$, отклоняют до горизонтального положения нити и отпускают без начальной скорости. Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна действующей на шарик силе тяжести. На какой высоте над полом должна находиться точка подвеса, чтобы время движения шарика по параболе после разрыва нити было таким же, как и время его падения после разрезания нити в исходном вертикальном положении?
Решение:
Обозначим через $h$ расстояние от неподвижно висящего шарика до пола. Тогда после перерезания нити в исходном положении шарик пролетит расстояние $h$ за время $t$, которое определится из формулы
$h = \frac{gt^{2} }{2}$, (1)
где $g$ — ускорение свободного падения. По условию время полёта шарика после обрыва нити в случае запуска из отклоненного состояния должно быть таким же.
Напишем второй закон Ньютона для шарика на нити, движущегося по окружности:
$m \vec{a} = \vec{F}_{н} + m \vec{g}$,
где $m$ — масса шарика,а $\vec{F}_{н}$ — сила натяжения нити. Проектируя это уравнение на ось x, направленную к точке подвеса, находим, что
$m \frac{V^{2} }{L} = F_{н} - mg \sin \alpha$. (2)
Из закона сохранения энергии ($\vec{F}_{н}$ не совершает работу, так как перпендикулярна к скорости) следует, что
$\frac{mV^{2} }{2} = mgL \sin \alpha$. (3)
Исключая $V^{2}$ из выражений (2) и (3), находим зависимость силы натяжения от угла:
$F_{н} = 3mg \sin \alpha$.
Поскольку нить выдерживает максимальное натяжение $mg$, ее разрыв произойдет при угле $\alpha$, синус которого равен 1/3 (строго говоря, при незначительном превышении этого значения). Подставляя найденное значение синуса в формулу (3), находим скорость шарика в момент обрыва нити:
$V_{1} = \sqrt{ \frac{2}{3} gL }$.
Учитывая направление скорости $\vec{V}_{1}$ (по касательной), легко найти ее вертикальную компоненту:
$V_{1в} = \sqrt{ \frac{2}{3} gL} \cdot \cos \alpha = \sqrt{ \frac{2}{3}gL} \cdot \sqrt{ \frac{8}{9}} = \frac{4 \sqrt{gL} }{3 \sqrt{3} }$.
После разрыва нити шарик пролетит по вертикали до удара об пол расстояние
$S = L(1 - \sin \alpha) + h = \frac{2}{3}L + h$.
Движение шарика по вертикали будет описываться формулой
$S = V_{1в}t + \frac{gt^{2} }{2}$. (4)
Подставляя в формулу (4) выражения для $S$ и $V_{1в}$, находим,что
$\frac{2}{3}L + h = \frac{4 \sqrt{gL} }{3 \sqrt{3} } t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Учитывая, что время полета $t$ в формулах (1) и (4) одинаково, получаем для него
$t = \sqrt{ \frac{L}{g} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{3}$.
Следовательно, высота $h$ равна
$h = \frac{gt^{2} }{2} = \frac{3}{8}L$,
а точка подвеса должна находиться над полом на высоте
$h + L = \frac{11}{8} L$.
Шарик, висящий на нити длиной $L$, отклоняют до горизонтального положения нити и отпускают без начальной скорости. Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна действующей на шарик силе тяжести. На какой высоте над полом должна находиться точка подвеса, чтобы время движения шарика по параболе после разрыва нити было таким же, как и время его падения после разрезания нити в исходном вертикальном положении?
Решение:
Обозначим через $h$ расстояние от неподвижно висящего шарика до пола. Тогда после перерезания нити в исходном положении шарик пролетит расстояние $h$ за время $t$, которое определится из формулы
$h = \frac{gt^{2} }{2}$, (1)
где $g$ — ускорение свободного падения. По условию время полёта шарика после обрыва нити в случае запуска из отклоненного состояния должно быть таким же.
Напишем второй закон Ньютона для шарика на нити, движущегося по окружности:
$m \vec{a} = \vec{F}_{н} + m \vec{g}$,
где $m$ — масса шарика,а $\vec{F}_{н}$ — сила натяжения нити. Проектируя это уравнение на ось x, направленную к точке подвеса, находим, что
$m \frac{V^{2} }{L} = F_{н} - mg \sin \alpha$. (2)
Из закона сохранения энергии ($\vec{F}_{н}$ не совершает работу, так как перпендикулярна к скорости) следует, что
$\frac{mV^{2} }{2} = mgL \sin \alpha$. (3)
Исключая $V^{2}$ из выражений (2) и (3), находим зависимость силы натяжения от угла:
$F_{н} = 3mg \sin \alpha$.
Поскольку нить выдерживает максимальное натяжение $mg$, ее разрыв произойдет при угле $\alpha$, синус которого равен 1/3 (строго говоря, при незначительном превышении этого значения). Подставляя найденное значение синуса в формулу (3), находим скорость шарика в момент обрыва нити:
$V_{1} = \sqrt{ \frac{2}{3} gL }$.
Учитывая направление скорости $\vec{V}_{1}$ (по касательной), легко найти ее вертикальную компоненту:
$V_{1в} = \sqrt{ \frac{2}{3} gL} \cdot \cos \alpha = \sqrt{ \frac{2}{3}gL} \cdot \sqrt{ \frac{8}{9}} = \frac{4 \sqrt{gL} }{3 \sqrt{3} }$.
После разрыва нити шарик пролетит по вертикали до удара об пол расстояние
$S = L(1 - \sin \alpha) + h = \frac{2}{3}L + h$.
Движение шарика по вертикали будет описываться формулой
$S = V_{1в}t + \frac{gt^{2} }{2}$. (4)
Подставляя в формулу (4) выражения для $S$ и $V_{1в}$, находим,что
$\frac{2}{3}L + h = \frac{4 \sqrt{gL} }{3 \sqrt{3} } t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Учитывая, что время полета $t$ в формулах (1) и (4) одинаково, получаем для него
$t = \sqrt{ \frac{L}{g} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{3}$.
Следовательно, высота $h$ равна
$h = \frac{gt^{2} }{2} = \frac{3}{8}L$,
а точка подвеса должна находиться над полом на высоте
$h + L = \frac{11}{8} L$.
