Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6793
2018-03-18 
Диск радиусом $R$ начинает качение без проскальзывания так, что ускорение центра диска остается постоянным. Найти точку диска, которая имеет нулевое ускорение в момент времени, когда центр диска сместился на расстояние $S$. Рассмотреть также частные случаи $S = 0, S = R/2$.
Решение:
Решение задачи удобно провести, рассматривая движение произвольной точки диска в системе координат, которая сама движется поступательно и начало которой находится в центре диска. Считаем, что диск движется горизонтально. Любая точка диска относительно этой системы движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Причём, если ускорение центра диска равно $a_{0}$, то тангенциальное ускорение $a_{ \tau}$ точки на диске равно
$a_{ \tau} = a_{0}r/R$, (1)
где $r$ — радиус окружности, описываемой этой точкой. Соотношение (1) непосредственно следует из условия качения без проскальзывания. Кроме тангенциального, у точек диска будет и нормальное ускорение $a_{n}$, направленное к центру диска. Пусть к рассматриваемому моменту диск, начав равноускоренное движение, находится в движении $t$ секунд. Тогда скорость $V$ точки диска в подвижной системе равна $V = a_{ \tau}t = a_{0}rt/R$ и $a_{n} = V^{2}/r = 2a_{0}rS/R^{2}$, где $S = a_{0}t^{2}/2$ — путь, пройденный центром диска за время $t$.
Полное ускорение $\vec{a}^{ \prime}$ точки на диске в подвижной системе равно $\vec{a}^{ \prime} = \vec{a}_{ \tau} + \vec{a}_{n}$. Ускорение $\vec{a}$ этой же точки в неподвижной системе выражается суммой $\vec{a} = \vec{a}^{ \prime} + \vec{a}_{0}$. На рисунке показаны векторы ускорений искомой точки и ускорение $\vec{a}_{0}$ центра диска (см. рис.). Из этого рисунка качественно ясно, где нужно искать точку с нулевым ускорением $\vec{a}$: правее и ниже центра диска. Введем угол $\phi$ между радиусом-вектором искомой точки и горизонтальным направлением. Тогда
$a_{n} \sin \phi = a_{ \tau} \cos \phi$, (2)
$a_{n} \cos \phi + a_{ \tau} \sin \phi = a^{ \prime} = a_{0}$. (3)
Соотношение (2) отражает факт горизонтальности $\vec{a}^{ \prime}$, а соотношение (3) — равенство модулей ускорений $\vec{a}^{ \prime}$ и $\vec{a}_{0}$. Из (2) выражаем $tg \phi$:
$tg \phi = \frac{a_{tau} }{a_{n} } = \frac{R}{a_{0}t^{2} } = \frac{R}{2S}$.
Перепишем соотношение (3) в виде
$a_{n} + a_{ \tau} tg \phi = a_{0}/ \cos \phi = a_{0} \sqrt{ 1 + tg^{2} \phi}$
и подставим в него выражение для $a_{n}$. В итоге получим искомое расстояние точки с нулевым ускорением от центра диска:
$r = \frac{R^{2} }{ \sqrt{R^{2} + 4S^{2} } }$.
Диск радиусом $R$ начинает качение без проскальзывания так, что ускорение центра диска остается постоянным. Найти точку диска, которая имеет нулевое ускорение в момент времени, когда центр диска сместился на расстояние $S$. Рассмотреть также частные случаи $S = 0, S = R/2$.
Решение:
Решение задачи удобно провести, рассматривая движение произвольной точки диска в системе координат, которая сама движется поступательно и начало которой находится в центре диска. Считаем, что диск движется горизонтально. Любая точка диска относительно этой системы движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Причём, если ускорение центра диска равно $a_{0}$, то тангенциальное ускорение $a_{ \tau}$ точки на диске равно
$a_{ \tau} = a_{0}r/R$, (1)
где $r$ — радиус окружности, описываемой этой точкой. Соотношение (1) непосредственно следует из условия качения без проскальзывания. Кроме тангенциального, у точек диска будет и нормальное ускорение $a_{n}$, направленное к центру диска. Пусть к рассматриваемому моменту диск, начав равноускоренное движение, находится в движении $t$ секунд. Тогда скорость $V$ точки диска в подвижной системе равна $V = a_{ \tau}t = a_{0}rt/R$ и $a_{n} = V^{2}/r = 2a_{0}rS/R^{2}$, где $S = a_{0}t^{2}/2$ — путь, пройденный центром диска за время $t$.
Полное ускорение $\vec{a}^{ \prime}$ точки на диске в подвижной системе равно $\vec{a}^{ \prime} = \vec{a}_{ \tau} + \vec{a}_{n}$. Ускорение $\vec{a}$ этой же точки в неподвижной системе выражается суммой $\vec{a} = \vec{a}^{ \prime} + \vec{a}_{0}$. На рисунке показаны векторы ускорений искомой точки и ускорение $\vec{a}_{0}$ центра диска (см. рис.). Из этого рисунка качественно ясно, где нужно искать точку с нулевым ускорением $\vec{a}$: правее и ниже центра диска. Введем угол $\phi$ между радиусом-вектором искомой точки и горизонтальным направлением. Тогда
$a_{n} \sin \phi = a_{ \tau} \cos \phi$, (2)
$a_{n} \cos \phi + a_{ \tau} \sin \phi = a^{ \prime} = a_{0}$. (3)
Соотношение (2) отражает факт горизонтальности $\vec{a}^{ \prime}$, а соотношение (3) — равенство модулей ускорений $\vec{a}^{ \prime}$ и $\vec{a}_{0}$. Из (2) выражаем $tg \phi$:
$tg \phi = \frac{a_{tau} }{a_{n} } = \frac{R}{a_{0}t^{2} } = \frac{R}{2S}$.
Перепишем соотношение (3) в виде
$a_{n} + a_{ \tau} tg \phi = a_{0}/ \cos \phi = a_{0} \sqrt{ 1 + tg^{2} \phi}$
и подставим в него выражение для $a_{n}$. В итоге получим искомое расстояние точки с нулевым ускорением от центра диска:
$r = \frac{R^{2} }{ \sqrt{R^{2} + 4S^{2} } }$.
