Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6792
2018-03-18 
На горизонтальной доске длиной $L$ лежит брусок. В момент времени $t = 0$ доску приводят в движение в продольном направлении со скоростью $V_{x}$, график изменения которой во времени приведен на рисунке (ось x направлена вдоль доски).
Укажите область начальных положений бруска на доске, откуда он не соскользнет из-за движения доски. Считать выполненными следующие условия: $V_{0}t = L/4$ и $\tau = V_{0}/( \mu g)$, где $\mu$ — коэффициент трения между бруском и доской, $g$ - ускорение свободного падения.
Решение:
Поскольку интерес представляет только кинематическая часть задачи (динамика здесь очень простая), данная задача отнесена к кинематике. Свяжем подвижную ось $x^{ \prime}$ с доской, направив ее вдоль неподвижной оси $x$ (вправо). Начало подвижной оси поместим на левом краю доски. В промежутке времени $0 \leq t \leq \tau$ скорость кубика в подвижной системе координат изменяется от $- V_{0}$ до нуля. Действительно, ускорение кубика относительно доски (и земли) равно $\mu g$, и за время $\tau$ кубик как раз перестанет скользить: по условию $V_{0} = \mu g \tau$. За промежуток времени $\tau$ кубик сдвинется к левому краю на расстояние
$S_{1} = \mu g \tau^{2}/2 = V_{0} \tau/2 = L/8$.
Чтобы кубик не соскользнул с левого края, его начальная координата $x_{0}^{ \prime}$ должна удовлетворять неравенству
$x_{0}^{ \prime} > L/8$.
Рассмотрим теперь промежуток времени $\tau < t < 2 \tau$. В момент $t = \tau$ скорость доски мгновенно изменяется от $+ V_{0}$ до $- V_{0}$. Скорость кубика относительно земли в этот момент равна $V_{0}$. Следовательно, начальная скорость кубика относительно доски на интервале $\tau < t < 2 \tau$ будет $2V_{0}$. Смещение кубика вправо по доске за данный промежуток времени равно
$S_{2} = 2V_{0} \tau - \frac{ \mu g \tau^{2} }{2} = \frac{3}{8} L$.
Чтобы не соскользнуть с правого края, необходимо, чтобы конечная координата кубика $x^{ \prime} ( x^{ \prime} = x_{0}^{ \prime} - L/8 + 3L/8)$ была меньше $L$:
$x_{0}^{ \prime} - L/8 + 3L/8 < L$.
В итоге для начальной координаты $x_{0}^{ \prime}$ кубика на доске получаем
$L/8 < x_{0}^{ \prime} < 3L/4$.
На горизонтальной доске длиной $L$ лежит брусок. В момент времени $t = 0$ доску приводят в движение в продольном направлении со скоростью $V_{x}$, график изменения которой во времени приведен на рисунке (ось x направлена вдоль доски).
Укажите область начальных положений бруска на доске, откуда он не соскользнет из-за движения доски. Считать выполненными следующие условия: $V_{0}t = L/4$ и $\tau = V_{0}/( \mu g)$, где $\mu$ — коэффициент трения между бруском и доской, $g$ - ускорение свободного падения.
Решение:
Поскольку интерес представляет только кинематическая часть задачи (динамика здесь очень простая), данная задача отнесена к кинематике. Свяжем подвижную ось $x^{ \prime}$ с доской, направив ее вдоль неподвижной оси $x$ (вправо). Начало подвижной оси поместим на левом краю доски. В промежутке времени $0 \leq t \leq \tau$ скорость кубика в подвижной системе координат изменяется от $- V_{0}$ до нуля. Действительно, ускорение кубика относительно доски (и земли) равно $\mu g$, и за время $\tau$ кубик как раз перестанет скользить: по условию $V_{0} = \mu g \tau$. За промежуток времени $\tau$ кубик сдвинется к левому краю на расстояние
$S_{1} = \mu g \tau^{2}/2 = V_{0} \tau/2 = L/8$.
Чтобы кубик не соскользнул с левого края, его начальная координата $x_{0}^{ \prime}$ должна удовлетворять неравенству
$x_{0}^{ \prime} > L/8$.
Рассмотрим теперь промежуток времени $\tau < t < 2 \tau$. В момент $t = \tau$ скорость доски мгновенно изменяется от $+ V_{0}$ до $- V_{0}$. Скорость кубика относительно земли в этот момент равна $V_{0}$. Следовательно, начальная скорость кубика относительно доски на интервале $\tau < t < 2 \tau$ будет $2V_{0}$. Смещение кубика вправо по доске за данный промежуток времени равно
$S_{2} = 2V_{0} \tau - \frac{ \mu g \tau^{2} }{2} = \frac{3}{8} L$.
Чтобы не соскользнуть с правого края, необходимо, чтобы конечная координата кубика $x^{ \prime} ( x^{ \prime} = x_{0}^{ \prime} - L/8 + 3L/8)$ была меньше $L$:
$x_{0}^{ \prime} - L/8 + 3L/8 < L$.
В итоге для начальной координаты $x_{0}^{ \prime}$ кубика на доске получаем
$L/8 < x_{0}^{ \prime} < 3L/4$.
