Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6791
2018-03-18 
Декартовы координаты частицы меняются во времени следующим образом: $x(t)= A \cos \omega t, y(t) = A \sin \omega t, z(t) = A \omega t(1 - \omega t/2)$, где $A$ и $\omega$ - положительные константы. Найти минимальный радиус кривизны траектории частицы.
Решение:
Найдем компоненты скорости и ускорения точки путем дифференцирования по времени ее координат:
$V_{x} = - \omega A \sin \omega t, V_{y} = \omega A \cos \omega t, V_{z} = \omega A(1 - \omega t)$,
$a_{x} = - \omega^{2}A \cos \omega t, a_{y} = - \omega^{2} A \sin \omega t, a_{z} = - \omega^{2}A$.
Из полученных формул находим скорость и ускорение:
$V = \sqrt{ V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2} } = \omega A \sqrt{1 + ( 1 - \omega t)^{2} }$,
$a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} = \omega^{2} A \sqrt{2}$.
Полное ускорение точки можно выразить также через нормальное $a_{n}$ и тангенциальное $a_{ \tau}$ ускорения:
$a = \sqrt{ a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2} }$.
В момент $t_{1} = 1/ \omega$ скорость точки $V$ достигает минимума, равного $\omega A$ (см. формулу для $V(t)$), а нормальное ускорение $a_{n}$ — максимума, равного $a$ (поскольку полное ускорение постоянно, а тангенциальное ускорение в этот момент обращается в нуль). Следовательно, в этот момент радиус кривизны траектории точки принимает минимальное значение
$R_{min} = \frac{V_{min}^{2} }{a} = \frac{( \omega A)^{2}}{ \omega^{2} A \sqrt{2} } = \frac{A}{ \sqrt{2} }$.
Декартовы координаты частицы меняются во времени следующим образом: $x(t)= A \cos \omega t, y(t) = A \sin \omega t, z(t) = A \omega t(1 - \omega t/2)$, где $A$ и $\omega$ - положительные константы. Найти минимальный радиус кривизны траектории частицы.
Решение:
Найдем компоненты скорости и ускорения точки путем дифференцирования по времени ее координат:
$V_{x} = - \omega A \sin \omega t, V_{y} = \omega A \cos \omega t, V_{z} = \omega A(1 - \omega t)$,
$a_{x} = - \omega^{2}A \cos \omega t, a_{y} = - \omega^{2} A \sin \omega t, a_{z} = - \omega^{2}A$.
Из полученных формул находим скорость и ускорение:
$V = \sqrt{ V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2} } = \omega A \sqrt{1 + ( 1 - \omega t)^{2} }$,
$a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} = \omega^{2} A \sqrt{2}$.
Полное ускорение точки можно выразить также через нормальное $a_{n}$ и тангенциальное $a_{ \tau}$ ускорения:
$a = \sqrt{ a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2} }$.
В момент $t_{1} = 1/ \omega$ скорость точки $V$ достигает минимума, равного $\omega A$ (см. формулу для $V(t)$), а нормальное ускорение $a_{n}$ — максимума, равного $a$ (поскольку полное ускорение постоянно, а тангенциальное ускорение в этот момент обращается в нуль). Следовательно, в этот момент радиус кривизны траектории точки принимает минимальное значение
$R_{min} = \frac{V_{min}^{2} }{a} = \frac{( \omega A)^{2}}{ \omega^{2} A \sqrt{2} } = \frac{A}{ \sqrt{2} }$.
