Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6789
2018-03-18 
Частица совершает периодическое движение в плоскости $x, y$. Проекции ее скорости на оси $x, y$ изменяются во времени так, как показано на рисунках. Нарисовать траекторию частицы. Найти радиус кривизны траектории в точке, которую частица проходит в момент $t = T/2$. В момент $t = 0$ частица находилась в начале координат.
Решение:
Построим вначале траекторию частицы. Для этого необходимо записать зависимости $x(t)$ и $y(t)$, затем исключить время $t$ и выразить $x$ через $y$. В результате получим траекторию в виде двух состыкованных парабол (см. рис.): левой — с уравнением
$x = \frac{2y^{2} }{V_{0}T }$
и правой — с уравнением
$x = \frac{V_{0}T }{4} - \frac{2y^{2} }{V_{0}T }$.
По левой параболе частица движется в течение первой и последней четвертей периода $T$, а по правой — второй и третьей четвертей. В момент времени $t = T/2$, для которого требуется найти радиус кривизны траектории, частица пересекает ось $x$ в точке $V_{0}T/4$. В этот момент скорость частицы равна $V_{0} (V_{x} = 0, V_{y} = - V_{0}$), а ускорение равно $4V_{0}/T$ ($a_{x} = - 4V_{0}/T$, $a_{y} = 0$) и является нормальным. Тогда из формулы для нормального ускорения следует, что радиус кривизны траектории в момент времени $t = T/2$ равен $R = V_{0}T/4$. Из рисунка видно, что радиус кривизны будет таким же и в начале координат.
Частица совершает периодическое движение в плоскости $x, y$. Проекции ее скорости на оси $x, y$ изменяются во времени так, как показано на рисунках. Нарисовать траекторию частицы. Найти радиус кривизны траектории в точке, которую частица проходит в момент $t = T/2$. В момент $t = 0$ частица находилась в начале координат.
Решение:
Построим вначале траекторию частицы. Для этого необходимо записать зависимости $x(t)$ и $y(t)$, затем исключить время $t$ и выразить $x$ через $y$. В результате получим траекторию в виде двух состыкованных парабол (см. рис.): левой — с уравнением
$x = \frac{2y^{2} }{V_{0}T }$
и правой — с уравнением
$x = \frac{V_{0}T }{4} - \frac{2y^{2} }{V_{0}T }$.
По левой параболе частица движется в течение первой и последней четвертей периода $T$, а по правой — второй и третьей четвертей. В момент времени $t = T/2$, для которого требуется найти радиус кривизны траектории, частица пересекает ось $x$ в точке $V_{0}T/4$. В этот момент скорость частицы равна $V_{0} (V_{x} = 0, V_{y} = - V_{0}$), а ускорение равно $4V_{0}/T$ ($a_{x} = - 4V_{0}/T$, $a_{y} = 0$) и является нормальным. Тогда из формулы для нормального ускорения следует, что радиус кривизны траектории в момент времени $t = T/2$ равен $R = V_{0}T/4$. Из рисунка видно, что радиус кривизны будет таким же и в начале координат.
