Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6787
2018-03-18 
Небольшой шарик скачет внутри гладкой закрепленной сферы радиусом $R$, отражаясь абсолютно упруго от точек A и B, симметричных относительно вертикальной оси, проходящей через центр сферы O (см. рис.). Найти минимальную скорость шарика в процессе движения, если его траектория проходит через центр O. Нарисовать траекторию шарика и найти радиус кривизны траектории в верхней точке.
Решение:
Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ углы, которые скорость шарика, отскочившего от сферы в точке А, образует соответственно с горизонтом и радиусом ОА (см. рис.). Поскольку дальности полета шарика по горизонтали для обеих парабол одинаковы, имеем равенство
$\sin 2 \alpha = \sin[2( \alpha + 2 \beta)]$.
В этом равенстве учтено, что при абсолютно упругом ударе о гладкую поверхность угол падения равен углу отражения. Учтем далее, что из того же равенства следует очевидное соотношение для аргументов синуса: $2( \alpha + 2 \beta) = \pi - 2 \alpha$, откуда $\alpha + \beta = \pi /4$.
Последнее равенство показывает, что радиусы OA и OB образуют углы $45^{ \circ}$ с горизонтом, то есть скорости шарика, летящего по верхней параболе, вблизи A и B ориентированы под углом $\alpha$ к вертикали. Учтем теперь, что верхняя парабола проходит через центр сферы. Приравнивая время подъема от точки B до центра О и время перемещения по горизонтали от В до центральной плоскости, имеем $\frac{R 2 \sqrt{2} }{2V \cos \alpha } = \frac{R \sqrt{2} }{2V \sin \alpha }$, то есть $2 \sin \alpha = \cos \alpha$. Таким образом, $\sin \alpha = 1/ \sqrt{5}, \cos \alpha = 2/ \sqrt{5}$. Скорость шарика в низших точках траектории можно найти из закона сохранения энергии: $V^{2} \cos^{2} \alpha = 2gR \sqrt{2} /2$, что дает значение $V = \frac{ \sqrt{gR} }{2} \sqrt[4]{50}$. Минимальная скорость у шарика будет в момент прохождения им точки О: $V_{min} = V \sin \alpha = \sqrt{ \sqrt{gR} }{ \sqrt[4]{8} }$. Радиус кривизны в верхней точке верхней параболы равен $R_{1} = \frac{(V \sin \alpha)^{2}}{g} = \frac{R}{2 \sqrt{2} }$. Радиус кривизны в верхней точке нижней параболы равен $R_{2} = (V \cos \alpha)^{2}/g = R \sqrt{2}$.
Небольшой шарик скачет внутри гладкой закрепленной сферы радиусом $R$, отражаясь абсолютно упруго от точек A и B, симметричных относительно вертикальной оси, проходящей через центр сферы O (см. рис.). Найти минимальную скорость шарика в процессе движения, если его траектория проходит через центр O. Нарисовать траекторию шарика и найти радиус кривизны траектории в верхней точке.
Решение:
Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ углы, которые скорость шарика, отскочившего от сферы в точке А, образует соответственно с горизонтом и радиусом ОА (см. рис.). Поскольку дальности полета шарика по горизонтали для обеих парабол одинаковы, имеем равенство
$\sin 2 \alpha = \sin[2( \alpha + 2 \beta)]$.
В этом равенстве учтено, что при абсолютно упругом ударе о гладкую поверхность угол падения равен углу отражения. Учтем далее, что из того же равенства следует очевидное соотношение для аргументов синуса: $2( \alpha + 2 \beta) = \pi - 2 \alpha$, откуда $\alpha + \beta = \pi /4$.
Последнее равенство показывает, что радиусы OA и OB образуют углы $45^{ \circ}$ с горизонтом, то есть скорости шарика, летящего по верхней параболе, вблизи A и B ориентированы под углом $\alpha$ к вертикали. Учтем теперь, что верхняя парабола проходит через центр сферы. Приравнивая время подъема от точки B до центра О и время перемещения по горизонтали от В до центральной плоскости, имеем $\frac{R 2 \sqrt{2} }{2V \cos \alpha } = \frac{R \sqrt{2} }{2V \sin \alpha }$, то есть $2 \sin \alpha = \cos \alpha$. Таким образом, $\sin \alpha = 1/ \sqrt{5}, \cos \alpha = 2/ \sqrt{5}$. Скорость шарика в низших точках траектории можно найти из закона сохранения энергии: $V^{2} \cos^{2} \alpha = 2gR \sqrt{2} /2$, что дает значение $V = \frac{ \sqrt{gR} }{2} \sqrt[4]{50}$. Минимальная скорость у шарика будет в момент прохождения им точки О: $V_{min} = V \sin \alpha = \sqrt{ \sqrt{gR} }{ \sqrt[4]{8} }$. Радиус кривизны в верхней точке верхней параболы равен $R_{1} = \frac{(V \sin \alpha)^{2}}{g} = \frac{R}{2 \sqrt{2} }$. Радиус кривизны в верхней точке нижней параболы равен $R_{2} = (V \cos \alpha)^{2}/g = R \sqrt{2}$.
