Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6786
2018-03-18 
Из одной точки на склоне горы, составляющем угол $30^{ \circ}$ с горизонтом, бросают два камня с одинаковой начальной скоростью 20 м/с. Один бросают под некоторым углом вверх, другой — вниз под гору. На каком максимальном расстоянии друг от друга могут находиться точки падения камней на склон?
Решение:
В системе отсчёта с началом в точке бросания, горизонтальной осью $x$ (направлена «внутрь» горы) и вертикальной осью y координаты камня, брошенного вверх, выражаются формулами
$x = V_{0}t \cos \alpha, y = V_{0}t \sin \alpha - gt^{2}/2$
($\alpha$ - угол между $\vec{V}_{0}$ и осью $x, g$ — ускорение свободного падения). Отсюда следует, что
$x^{2} + y^{2} + gyt^{2} + g^{2}t^{4}/4 = V_{0}^{2}t^{2}$.
Обозначая дальность полета вдоль горы через $L_{1}$ и выражая координаты точки падения по формулам $x = L_{1} \cos 30^{ \circ}, y = L_{1} \sin 30^{ \circ}$, получим из этого уравнения соотношение вида
$g^{2}t^{4}/4 + (gL_{1} \sin 30^{ \circ} - V_{0}^{2}) t^{2} + L_{1}^{2} = 0$.
Рассматривая данное уравнение как биквадратное относительно $t$ и учитывая, что для максимальной дальности полета $L_{1max}$ два корня этого уравнения должны совпасть, приравниваем дискриминант уравнения к нулю:
$(gL_{1max} \sin 30^{ \circ} - V_{0}^{2})^{2} - g^{2}L_{1max}^{2} = 0$,
откуда находим $L_{1max} = V_{0}^{2}/[g(1 + \sin 30^{ \circ})]$. Для тела, брошенного вниз, аналогично получаем $L_{2max} = V_{0}^{2}/[g(1 - \sin 30^{ \circ})]$. Максимальное расстояние между точками падения равно $L_{1max} + L_{2max}$, что для данных задачи составляет примерно 109 м.
Из одной точки на склоне горы, составляющем угол $30^{ \circ}$ с горизонтом, бросают два камня с одинаковой начальной скоростью 20 м/с. Один бросают под некоторым углом вверх, другой — вниз под гору. На каком максимальном расстоянии друг от друга могут находиться точки падения камней на склон?
Решение:
В системе отсчёта с началом в точке бросания, горизонтальной осью $x$ (направлена «внутрь» горы) и вертикальной осью y координаты камня, брошенного вверх, выражаются формулами
$x = V_{0}t \cos \alpha, y = V_{0}t \sin \alpha - gt^{2}/2$
($\alpha$ - угол между $\vec{V}_{0}$ и осью $x, g$ — ускорение свободного падения). Отсюда следует, что
$x^{2} + y^{2} + gyt^{2} + g^{2}t^{4}/4 = V_{0}^{2}t^{2}$.
Обозначая дальность полета вдоль горы через $L_{1}$ и выражая координаты точки падения по формулам $x = L_{1} \cos 30^{ \circ}, y = L_{1} \sin 30^{ \circ}$, получим из этого уравнения соотношение вида
$g^{2}t^{4}/4 + (gL_{1} \sin 30^{ \circ} - V_{0}^{2}) t^{2} + L_{1}^{2} = 0$.
Рассматривая данное уравнение как биквадратное относительно $t$ и учитывая, что для максимальной дальности полета $L_{1max}$ два корня этого уравнения должны совпасть, приравниваем дискриминант уравнения к нулю:
$(gL_{1max} \sin 30^{ \circ} - V_{0}^{2})^{2} - g^{2}L_{1max}^{2} = 0$,
откуда находим $L_{1max} = V_{0}^{2}/[g(1 + \sin 30^{ \circ})]$. Для тела, брошенного вниз, аналогично получаем $L_{2max} = V_{0}^{2}/[g(1 - \sin 30^{ \circ})]$. Максимальное расстояние между точками падения равно $L_{1max} + L_{2max}$, что для данных задачи составляет примерно 109 м.
