Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6786
2018-03-18 
Два тела бросили одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями, равными $V_{0}$. Одно тело бросили вертикально вверх, а другое — под некоторым углом к горизонту. Каким должен быть этот угол, чтобы расстояние между телами оказалось максимально возможным? Чему равно это максимальное расстояние? Считать, что при падении на землю скорость тела мгновенно гасится.
Решение:
Для решения задачи удобно использовать вектор относительной скорости. Пока оба тела находятся в полете, этот вектор остается постоянным и равным $2V_{0} \sin( \alpha /2)$ (см. рис.), где $\alpha$ - угол между векторами скорости брошенных тел в начальный момент. Ясно, что пока оба тела находятся в полете, расстояние $L$ между ними линейно нарастает со временем. В момент падения наклонно брошенного тела на землю это расстояние достигает значения
$L = 2V_{0} \frac{2V_{0} \cos \alpha }{g} \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{4V_{0}^{2} }{g} \left ( \cos^{2} \frac{ \alpha}{2} - \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) \sin \frac{ \alpha}{2}$,
где $g$ — ускорение свободного падения.
Исследуем данное выражение на максимум. Взяв производную по $\alpha/2$ и приравняв ее к нулю, находим, что $L$ достигает максимального значения
$L^{*} = \frac{8V_{0}^{2}}{3g \sqrt{6}}$
при $\alpha = \alpha^{*}$, где $\sin( \alpha^{*}/2) = 1/ \sqrt{6}$, при $\alpha^{*} \approx 48^{ \circ}$. Для полного анализа задачи необходимо проверить, куда движется вертикально брошенное тело в момент падения тела, брошенного под углом $\alpha^{*}$ к вертикали. Сравнивая время полета вертикально брошенного тела до высшей точки $t_{1} = V_{0}/g$ с полным временем полета тела, брошенного под углом $\alpha^{*}, t_{2} = 2(V_{0}/g) \cos \alpha^{*} = 4V_{0}/3g$, находим, что $t_{1} < t_{2}$. Таким образом, вертикально брошенное тело движется вниз, и дальше расстояние между телами будет только убывать.
Два тела бросили одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями, равными $V_{0}$. Одно тело бросили вертикально вверх, а другое — под некоторым углом к горизонту. Каким должен быть этот угол, чтобы расстояние между телами оказалось максимально возможным? Чему равно это максимальное расстояние? Считать, что при падении на землю скорость тела мгновенно гасится.
Решение:
Для решения задачи удобно использовать вектор относительной скорости. Пока оба тела находятся в полете, этот вектор остается постоянным и равным $2V_{0} \sin( \alpha /2)$ (см. рис.), где $\alpha$ - угол между векторами скорости брошенных тел в начальный момент. Ясно, что пока оба тела находятся в полете, расстояние $L$ между ними линейно нарастает со временем. В момент падения наклонно брошенного тела на землю это расстояние достигает значения
$L = 2V_{0} \frac{2V_{0} \cos \alpha }{g} \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{4V_{0}^{2} }{g} \left ( \cos^{2} \frac{ \alpha}{2} - \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) \sin \frac{ \alpha}{2}$,
где $g$ — ускорение свободного падения.
Исследуем данное выражение на максимум. Взяв производную по $\alpha/2$ и приравняв ее к нулю, находим, что $L$ достигает максимального значения
$L^{*} = \frac{8V_{0}^{2}}{3g \sqrt{6}}$
при $\alpha = \alpha^{*}$, где $\sin( \alpha^{*}/2) = 1/ \sqrt{6}$, при $\alpha^{*} \approx 48^{ \circ}$. Для полного анализа задачи необходимо проверить, куда движется вертикально брошенное тело в момент падения тела, брошенного под углом $\alpha^{*}$ к вертикали. Сравнивая время полета вертикально брошенного тела до высшей точки $t_{1} = V_{0}/g$ с полным временем полета тела, брошенного под углом $\alpha^{*}, t_{2} = 2(V_{0}/g) \cos \alpha^{*} = 4V_{0}/3g$, находим, что $t_{1} < t_{2}$. Таким образом, вертикально брошенное тело движется вниз, и дальше расстояние между телами будет только убывать.
