Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6784
2018-03-18 
Тело движется в первом случае под действием силы тяжести, а в другом — по той же траектории с постоянной скоростью $V$. В верхней точке 1 для обоих вариантов движения скорости тела совпадают (см. рис.). Найти во втором случае ускорение тела в точках 1 и 2 (скорость направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту). Ускорение свободного падения считать известным.
Решение:
Поскольку в обоих случаях тело движется по одинаковым траекториям, а в первом случае движение его происходит в поле силы тяжести, значит траекториями тела явля-ютсядвеодинаковыепараболысвершинамивверхнейточке (см. рис. — точка 1). Воспользуемся выражением для нормального ускорения $a_{n}$:
$a_{n} = \frac{V^{2}}{R}$,
где $V$ — скорость тела, а $R$ — радиус кривизны траектории.
Рассмотрим первый случай — движение под действием силы тяжести. В точке 1 нормальное ускорение $a_{n1}$ равно ускорению свободного падения $g$, поскольку в этой точке полное ускорение совпадает с нормальным. В точке 2 нормальное ускорение $a_{n2}$ может быть найдено путем проектирования полного ускорения $g$ на нормаль:
$a_{n2} = \frac{V_{2}^{2}}{R} = g \cos 45^{ \circ} = g \frac{ \sqrt{2} }{2}$.
Учитывая, что при движении в поле силы тяжести сохраняется горизонтальная компонента скорости (она равна скорости $V_{1}$ в точке 1), находим, что
$V_{2} = \frac{V_{1}}{ \cos 45^{ \circ} } = V_{1} \sqrt{2}$.
Таким образом,
$a_{n2} = 2 \frac{V_{1}^{2} }{R_{2} } = g \frac{ \sqrt{2} }{2}$. (1)
Рассмотрим теперь второй вариант движения — движение по параболе с постоянной скоростью. В этом случае ускорение тела будет иметь только нормальную составляющую. Обозначим ускорение тела в точках 1 и 2 через $a_{1}^{ \prime}$ и $a_{2}^{ \prime}$ соответственно. Поскольку в точке 1, по условию, в обоих вариантах движения скорости совпадают, а радиусы кривизны из-за эквивалентности парабол вообще равны для любой пары эквивалентных точек, то
$a_{1}^{ \prime} = \frac{ V_{1}^{2} }{R_{1} } = a_{n1} = g$.
Для точки 2 имеем:
$a_{2}^{ \prime} = \frac{(V_{2}^{ \prime} )^{2} }{R_{2} } = \frac{V_{1}^{2} }{R_{2} }$. (2)
Сравнивая выражения (1) и (2), находим окончательный результат:
$a_{2}^{ \prime} = g \frac{ \sqrt{2} }{4}$.
Тело движется в первом случае под действием силы тяжести, а в другом — по той же траектории с постоянной скоростью $V$. В верхней точке 1 для обоих вариантов движения скорости тела совпадают (см. рис.). Найти во втором случае ускорение тела в точках 1 и 2 (скорость направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту). Ускорение свободного падения считать известным.
Решение:
Поскольку в обоих случаях тело движется по одинаковым траекториям, а в первом случае движение его происходит в поле силы тяжести, значит траекториями тела явля-ютсядвеодинаковыепараболысвершинамивверхнейточке (см. рис. — точка 1). Воспользуемся выражением для нормального ускорения $a_{n}$:
$a_{n} = \frac{V^{2}}{R}$,
где $V$ — скорость тела, а $R$ — радиус кривизны траектории.
Рассмотрим первый случай — движение под действием силы тяжести. В точке 1 нормальное ускорение $a_{n1}$ равно ускорению свободного падения $g$, поскольку в этой точке полное ускорение совпадает с нормальным. В точке 2 нормальное ускорение $a_{n2}$ может быть найдено путем проектирования полного ускорения $g$ на нормаль:
$a_{n2} = \frac{V_{2}^{2}}{R} = g \cos 45^{ \circ} = g \frac{ \sqrt{2} }{2}$.
Учитывая, что при движении в поле силы тяжести сохраняется горизонтальная компонента скорости (она равна скорости $V_{1}$ в точке 1), находим, что
$V_{2} = \frac{V_{1}}{ \cos 45^{ \circ} } = V_{1} \sqrt{2}$.
Таким образом,
$a_{n2} = 2 \frac{V_{1}^{2} }{R_{2} } = g \frac{ \sqrt{2} }{2}$. (1)
Рассмотрим теперь второй вариант движения — движение по параболе с постоянной скоростью. В этом случае ускорение тела будет иметь только нормальную составляющую. Обозначим ускорение тела в точках 1 и 2 через $a_{1}^{ \prime}$ и $a_{2}^{ \prime}$ соответственно. Поскольку в точке 1, по условию, в обоих вариантах движения скорости совпадают, а радиусы кривизны из-за эквивалентности парабол вообще равны для любой пары эквивалентных точек, то
$a_{1}^{ \prime} = \frac{ V_{1}^{2} }{R_{1} } = a_{n1} = g$.
Для точки 2 имеем:
$a_{2}^{ \prime} = \frac{(V_{2}^{ \prime} )^{2} }{R_{2} } = \frac{V_{1}^{2} }{R_{2} }$. (2)
Сравнивая выражения (1) и (2), находим окончательный результат:
$a_{2}^{ \prime} = g \frac{ \sqrt{2} }{4}$.
