Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6783
2018-03-18 
Камень дважды бросают с одинаковой начальной скоростью с поверхности земли. При этом дальности полетов также оказываются одинаковыми, а времена полетов отличаются в $\sqrt{3}$ раз. Под какими углами был брошен камень?
Решение:
Пусть $V_{0}$ - начальная скорость камня, $\alpha$ — угол,под которым его бросили, а $g$ — ускорение свободного падения. Тогда время полета $t$ и дальность полета $L$ будут даваться выражениями
$t = \frac{2 V_{0} \sin \alpha}{g}$,
$L = (V_{0} \cos \alpha) t = \frac{2V_{0}^{2} }{g} \sin \alpha \cos \alpha$.
Если $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ - искомые углы (пусть $\alpha_{1}$ - меньший из них), то по условию задачи
$\frac{2 V_{0} \sin \alpha_{1} }{g} \sqrt{3} = \frac{ 2 V_{0} \sin \alpha_{2}}{g}$,
$\frac{2 V_{0} \sin \alpha_{1} \cos \alpha_{1}}{g} = \frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha_{2} \cos \alpha_{2}}{g}$.
Проведя сокращения в этих равенствах, найдем, что
$\sqrt{3} \sin \alpha_{1} = \sin \alpha_{2}$, (1)
$\cos \alpha_{1} = \sqrt{3} \cos \alpha_{2}$. (2)
Из системы уравнений (1)-(2) можно получить значение, например, $\sin \alpha_{1}$. Поделим равенство (2) на $\sqrt{3}$, возведем в квадрат равенства (1) и (2) и сложим левые и правые части:
$3 \sin^{2} \alpha_{1} + \frac{ \cos^{2} \alpha_{1} }{3} = 1$.
Учитывая, что $\cos^{2} \alpha_{1} = 1 - \sin^{2} \alpha_{1}$, получаем уравнение для $\sin \alpha_{1}$:
$3 \sin^{2} \alpha_{1} - \frac{1}{3} \sin^{2} \alpha_{1} = \frac{2}{3}$,
откуда
$\sin \alpha_{1} = \frac{1}{2}$
и $\alpha_{1} = 30^{ \circ}$. Тогда
$\sin \alpha_{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$
и $\alpha_{2} = 60^{ \circ}$.
Камень дважды бросают с одинаковой начальной скоростью с поверхности земли. При этом дальности полетов также оказываются одинаковыми, а времена полетов отличаются в $\sqrt{3}$ раз. Под какими углами был брошен камень?
Решение:
Пусть $V_{0}$ - начальная скорость камня, $\alpha$ — угол,под которым его бросили, а $g$ — ускорение свободного падения. Тогда время полета $t$ и дальность полета $L$ будут даваться выражениями
$t = \frac{2 V_{0} \sin \alpha}{g}$,
$L = (V_{0} \cos \alpha) t = \frac{2V_{0}^{2} }{g} \sin \alpha \cos \alpha$.
Если $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ - искомые углы (пусть $\alpha_{1}$ - меньший из них), то по условию задачи
$\frac{2 V_{0} \sin \alpha_{1} }{g} \sqrt{3} = \frac{ 2 V_{0} \sin \alpha_{2}}{g}$,
$\frac{2 V_{0} \sin \alpha_{1} \cos \alpha_{1}}{g} = \frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha_{2} \cos \alpha_{2}}{g}$.
Проведя сокращения в этих равенствах, найдем, что
$\sqrt{3} \sin \alpha_{1} = \sin \alpha_{2}$, (1)
$\cos \alpha_{1} = \sqrt{3} \cos \alpha_{2}$. (2)
Из системы уравнений (1)-(2) можно получить значение, например, $\sin \alpha_{1}$. Поделим равенство (2) на $\sqrt{3}$, возведем в квадрат равенства (1) и (2) и сложим левые и правые части:
$3 \sin^{2} \alpha_{1} + \frac{ \cos^{2} \alpha_{1} }{3} = 1$.
Учитывая, что $\cos^{2} \alpha_{1} = 1 - \sin^{2} \alpha_{1}$, получаем уравнение для $\sin \alpha_{1}$:
$3 \sin^{2} \alpha_{1} - \frac{1}{3} \sin^{2} \alpha_{1} = \frac{2}{3}$,
откуда
$\sin \alpha_{1} = \frac{1}{2}$
и $\alpha_{1} = 30^{ \circ}$. Тогда
$\sin \alpha_{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$
и $\alpha_{2} = 60^{ \circ}$.
