Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6780
2018-03-18 
Тело брошено вертикально вверх. В какое максимальное число раз путь, пройденный телом за первую секунду полета, может превышать путь, пройденный за вторую секунду? При какой начальной скорости это достигается? Время полета не меньше двух секунд.
Решение:
Ясно, что отношение $L_{1} /L_{2}$ расстояний, пройденных вертикально брошенным телом соответственно за первую и вторую секунды полета, достигает максимума, примерно равного 4, в том случае, когда время подъема тела до верхней точки близко к 1,5 с. Действительно, если это время точно равно 1,5 с, то тело имеет минимальную среднюю скорость на второй секунде полета, так что $L_{2}$ минимально. Однако, сделав время подъема несколько больше 1,5с, можно выиграть в отношении $L_{1}/L_{2}$ за счет большего роста $L_{1}$ в сравнении с $L_{2}$.
Перейдем теперь к строгому решению задачи. Обозначим через $t$ интервал времени в начале второй секунды, затраченный на подъем (в момент $t + 1$ тело достигает верхней точки). Для путей $L_{1}$ и $L_{2}$ имеем выражения
$L_{1} = g(t + 0,5), L_{2} = g(t^{2} - t + 0,5)$,
где $g$ — ускорение свободного падения. Для удобства анализа исследуем обратное отношение
$ \frac{L_{2} }{ L_{1}} = t - \frac{3}{2} + \frac{5}{2(2t + 1)}$,
которое представим в виде
$\frac{L_{2}}{L_{1} } = \frac{ \sqrt{5} }{2} \left [ \frac{2(t + 0,5)}{ \sqrt{5} } + \frac{ \sqrt{5} }{2(t + 0,5) } \right ] - 2$.
Минимальное значение выражения в квадратных скобках равно 2 (согласно неравенству Коши) и достигается при $t = ( \sqrt{5} - 1)/2$ (этот же результат можно получить, исследуя отношение $L_{2}/L_{1}$ на минимум с помощью производной). Таким азом, максимальное значение отношения $L_{1}/L_{2}$ составляет
$\left ( \frac{L_{1} }{L_{2} } \right )_{max} = \frac{1}{ \sqrt{5} - 2 } \approx 4,24$
и достигается при времени подъема $( \sqrt{5} + 1) /2 \approx 1,62 с$, что соответствует начальной скорости $V_{0} = g ( \sqrt{5} + 1) /2 \approx 15, 9 м/с$.
Тело брошено вертикально вверх. В какое максимальное число раз путь, пройденный телом за первую секунду полета, может превышать путь, пройденный за вторую секунду? При какой начальной скорости это достигается? Время полета не меньше двух секунд.
Решение:
Ясно, что отношение $L_{1} /L_{2}$ расстояний, пройденных вертикально брошенным телом соответственно за первую и вторую секунды полета, достигает максимума, примерно равного 4, в том случае, когда время подъема тела до верхней точки близко к 1,5 с. Действительно, если это время точно равно 1,5 с, то тело имеет минимальную среднюю скорость на второй секунде полета, так что $L_{2}$ минимально. Однако, сделав время подъема несколько больше 1,5с, можно выиграть в отношении $L_{1}/L_{2}$ за счет большего роста $L_{1}$ в сравнении с $L_{2}$.
Перейдем теперь к строгому решению задачи. Обозначим через $t$ интервал времени в начале второй секунды, затраченный на подъем (в момент $t + 1$ тело достигает верхней точки). Для путей $L_{1}$ и $L_{2}$ имеем выражения
$L_{1} = g(t + 0,5), L_{2} = g(t^{2} - t + 0,5)$,
где $g$ — ускорение свободного падения. Для удобства анализа исследуем обратное отношение
$ \frac{L_{2} }{ L_{1}} = t - \frac{3}{2} + \frac{5}{2(2t + 1)}$,
которое представим в виде
$\frac{L_{2}}{L_{1} } = \frac{ \sqrt{5} }{2} \left [ \frac{2(t + 0,5)}{ \sqrt{5} } + \frac{ \sqrt{5} }{2(t + 0,5) } \right ] - 2$.
Минимальное значение выражения в квадратных скобках равно 2 (согласно неравенству Коши) и достигается при $t = ( \sqrt{5} - 1)/2$ (этот же результат можно получить, исследуя отношение $L_{2}/L_{1}$ на минимум с помощью производной). Таким азом, максимальное значение отношения $L_{1}/L_{2}$ составляет
$\left ( \frac{L_{1} }{L_{2} } \right )_{max} = \frac{1}{ \sqrt{5} - 2 } \approx 4,24$
и достигается при времени подъема $( \sqrt{5} + 1) /2 \approx 1,62 с$, что соответствует начальной скорости $V_{0} = g ( \sqrt{5} + 1) /2 \approx 15, 9 м/с$.
