Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6779
2018-03-18 
Найти максимальное время полета брошенного вертикально камня, если за последнюю секунду он пролетел половину пути.
Решение:
Очевидно, камень должен быть брошен вверх с некоторой высоты над землей. Действительно, при этом вторую половину пути камень проходит разогнавшись, т.е. имея большую, чем на первой половине, среднюю скорость. Пусть $t_{1}$ - время полета до верхней точки, а $t_{2}$ — время падения от этой точки до середины пути. Тогда
$\frac{gt_{1}^{2} }{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2} = gt_{2}t_{3} + \frac{gt_{3}^{2} }{2}$,
где $t_{3} = 1 с$, а $g$ — ускорение свободного падения. Выразим отсюда время $t_{1}$:
$t_{1} = \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2}}$.
Чтобы время полета было максимально, должна быть максимальна и сумма
$t_{1} + t_{2} = t_{2} + \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2}}$.
Приравнивая к нулю производную от этого выражения по $t_{2}$, получаем
$1 + \frac{ t_{3} - t_{2}}{ \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2} } } = 0$,
откуда, подставляя $t_{3} = 1 с$, находим $t_{2} = 2 c$. Тогда из выражения для $t_{1}$ получаем, что $t_{1} = 1 с$, а общее максимальное время равно 4 секундам. Такое время полета достигается при бросании камня вверх с высоты $h \approx 40 м$ с начальной скоростью $v_{0} \approx 10 м/с$.
Найти максимальное время полета брошенного вертикально камня, если за последнюю секунду он пролетел половину пути.
Решение:
Очевидно, камень должен быть брошен вверх с некоторой высоты над землей. Действительно, при этом вторую половину пути камень проходит разогнавшись, т.е. имея большую, чем на первой половине, среднюю скорость. Пусть $t_{1}$ - время полета до верхней точки, а $t_{2}$ — время падения от этой точки до середины пути. Тогда
$\frac{gt_{1}^{2} }{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2} = gt_{2}t_{3} + \frac{gt_{3}^{2} }{2}$,
где $t_{3} = 1 с$, а $g$ — ускорение свободного падения. Выразим отсюда время $t_{1}$:
$t_{1} = \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2}}$.
Чтобы время полета было максимально, должна быть максимальна и сумма
$t_{1} + t_{2} = t_{2} + \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2}}$.
Приравнивая к нулю производную от этого выражения по $t_{2}$, получаем
$1 + \frac{ t_{3} - t_{2}}{ \sqrt{ 2t_{2}t_{3} + t_{3}^{2} - t_{2}^{2} } } = 0$,
откуда, подставляя $t_{3} = 1 с$, находим $t_{2} = 2 c$. Тогда из выражения для $t_{1}$ получаем, что $t_{1} = 1 с$, а общее максимальное время равно 4 секундам. Такое время полета достигается при бросании камня вверх с высоты $h \approx 40 м$ с начальной скоростью $v_{0} \approx 10 м/с$.
