Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6755
2018-03-10 
На вертикальной стене на высоте $H = 1,5 м$ нарисован человечек ростом $h = 20 см$. При помощи линзы с фокусным расстоянием $F = 10 см$ получают максимально резкое изображение на полу. Найти размер изображения $h^{ \prime}$.
Решение:
Изображение на полу можно получить при различных положениях линзы, и увеличение будет зависеть от положения линзы. Наиболее четким изображение будет в том случае, когда «центр» источника (точка А на рис.) и соответствующая точка изображения (точка $A^{ \prime}$) лежат на главной оптической оси линзы. Нетрудно показать, что плоскость, в которой лежит линза, проходит через вершину О прямого угла $AOA^{ \prime}$.
Запишем формулу линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{ |AO^{ \prime} | } + \frac{1}{ | O^{ \prime} A^{ \prime} | }$,
Считая, что $|OA| = H - h/2 = H_{1}$, получаем $| AO^{ \prime} | = H_{1} \cos \alpha, | O^{ \prime} A^{ \prime} |= | OA^{ \prime} | \sin \alpha = H_{1} tg \alpha \cdot \sin \alpha$, и
$\frac{1}{H_{1} \cos \alpha } + \frac{1}{ H_{1} tg \alpha \cdot \sin \alpha } = \frac{1}{F}$,
откуда
$\sin^{2} \alpha \cos \alpha = \frac{F}{H_{1} } = \frac{F}{H - h/2 }$.
Из этого уравнения можно найти угол $\alpha$. Приближенно можно считать (угол $\alpha$ мал), что $\cos \alpha \approx 1$, тогда
$\sin \alpha \sqrt{ \frac{F}{H - h/2 } } \approx 0,233$ и $\alpha \approx 0,231$.
Рассчитаем теперь размер изображения. Если бы источник и изображение лежали в плоскостях, перпендикулярных главной оптической оси линзы, то увеличение было бы
$\Gamma = \frac{ | O^{ \prime}A^{ \prime} | }{ |AO^{ \prime} | } = \frac{H_{1} tg \alpha \sin \alpha }{H_{1} \cos \alpha } = tg^{2} \alpha$.
В нашем случае увеличение равно отношению длин проекций изображения и источника на эти плоскости; значит, размер изображения
$h^{ \prime} = h \Gamma tg \alpha = h tg^{3} \alpha \approx 0,25 см$.
На вертикальной стене на высоте $H = 1,5 м$ нарисован человечек ростом $h = 20 см$. При помощи линзы с фокусным расстоянием $F = 10 см$ получают максимально резкое изображение на полу. Найти размер изображения $h^{ \prime}$.
Решение:
Изображение на полу можно получить при различных положениях линзы, и увеличение будет зависеть от положения линзы. Наиболее четким изображение будет в том случае, когда «центр» источника (точка А на рис.) и соответствующая точка изображения (точка $A^{ \prime}$) лежат на главной оптической оси линзы. Нетрудно показать, что плоскость, в которой лежит линза, проходит через вершину О прямого угла $AOA^{ \prime}$.
Запишем формулу линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{ |AO^{ \prime} | } + \frac{1}{ | O^{ \prime} A^{ \prime} | }$,
Считая, что $|OA| = H - h/2 = H_{1}$, получаем $| AO^{ \prime} | = H_{1} \cos \alpha, | O^{ \prime} A^{ \prime} |= | OA^{ \prime} | \sin \alpha = H_{1} tg \alpha \cdot \sin \alpha$, и
$\frac{1}{H_{1} \cos \alpha } + \frac{1}{ H_{1} tg \alpha \cdot \sin \alpha } = \frac{1}{F}$,
откуда
$\sin^{2} \alpha \cos \alpha = \frac{F}{H_{1} } = \frac{F}{H - h/2 }$.
Из этого уравнения можно найти угол $\alpha$. Приближенно можно считать (угол $\alpha$ мал), что $\cos \alpha \approx 1$, тогда
$\sin \alpha \sqrt{ \frac{F}{H - h/2 } } \approx 0,233$ и $\alpha \approx 0,231$.
Рассчитаем теперь размер изображения. Если бы источник и изображение лежали в плоскостях, перпендикулярных главной оптической оси линзы, то увеличение было бы
$\Gamma = \frac{ | O^{ \prime}A^{ \prime} | }{ |AO^{ \prime} | } = \frac{H_{1} tg \alpha \sin \alpha }{H_{1} \cos \alpha } = tg^{2} \alpha$.
В нашем случае увеличение равно отношению длин проекций изображения и источника на эти плоскости; значит, размер изображения
$h^{ \prime} = h \Gamma tg \alpha = h tg^{3} \alpha \approx 0,25 см$.
