Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6754
2018-03-10 
Точечный источник света движется издалека с постоянной скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$, его траектория пересекает эту ось на расстоянии $a$ от линзы, как показано на рис. Найти минимальную относительную скорость изображения и источника. Линзу считать идеальной.
Решение:
Источник движется по прямой АО. Построим обычным способом «изображение» этого луча — прямую ОБ (и ее продолжение - штриховую линию $OB^{ \prime}$ ). Ясно, что изображение источника света движется вдоль этой прямой, причем его скорость г/изменяется от нуля—когда источник находится очень далеко от линзы, и до очень большого значения, формально—до бесконечности, когда источник проходит через фокус. Дальше скорость изображения вновь уменьшается и достигает значения $v = v_{0} \cos \alpha/ \cos \beta$, когда источник доберется до линзы.
Придется отдельно рассмотреть два случая: если $\alpha + \beta > \pi /2$, то относительная скорость (рис. а) не может быть меньше $v_{0}$ и равна ей, когда источник находится очень далеко от линзы. Итак, в этом случае ответ $v_{0}$.
Если сумма указанных углов меньше $\pi/2$, ответ получить сложнее. В этом случае минимальная величина относительной скорости $v$ (рис. б) достигается в тот момент, когда вектор относительной скорости окажется перпендикулярным вектору $\vec{v}$. При этом $v_{отн} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta)$. Угол $\beta$ находится из соотношения
$tg \beta = (a - f) tg \alpha /f$.
Тогда, после тригонометрических преобразований, получим
$v_{отн min } = v_{0}a \sin \alpha / \sqrt{ f^{2} + (a - f)^{2} tg^{2} \alpha }$,
Осталось найти значение угла $\alpha_{0}$, при котором угол между лучами АО и ОB составляет ровно $\pi/2$ (граничное значение)
$a tg \alpha_{0} = b tg \beta_{0} = b ctg \alpha_{0}$.
Но $b = af/(a - f)$, тогда
$tg \alpha_{0} = \sqrt{f/(a - f)}$.
Точечный источник света движется издалека с постоянной скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$, его траектория пересекает эту ось на расстоянии $a$ от линзы, как показано на рис. Найти минимальную относительную скорость изображения и источника. Линзу считать идеальной.
Решение:
Источник движется по прямой АО. Построим обычным способом «изображение» этого луча — прямую ОБ (и ее продолжение - штриховую линию $OB^{ \prime}$ ). Ясно, что изображение источника света движется вдоль этой прямой, причем его скорость г/изменяется от нуля—когда источник находится очень далеко от линзы, и до очень большого значения, формально—до бесконечности, когда источник проходит через фокус. Дальше скорость изображения вновь уменьшается и достигает значения $v = v_{0} \cos \alpha/ \cos \beta$, когда источник доберется до линзы.
Придется отдельно рассмотреть два случая: если $\alpha + \beta > \pi /2$, то относительная скорость (рис. а) не может быть меньше $v_{0}$ и равна ей, когда источник находится очень далеко от линзы. Итак, в этом случае ответ $v_{0}$.
Если сумма указанных углов меньше $\pi/2$, ответ получить сложнее. В этом случае минимальная величина относительной скорости $v$ (рис. б) достигается в тот момент, когда вектор относительной скорости окажется перпендикулярным вектору $\vec{v}$. При этом $v_{отн} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta)$. Угол $\beta$ находится из соотношения
$tg \beta = (a - f) tg \alpha /f$.
Тогда, после тригонометрических преобразований, получим
$v_{отн min } = v_{0}a \sin \alpha / \sqrt{ f^{2} + (a - f)^{2} tg^{2} \alpha }$,
Осталось найти значение угла $\alpha_{0}$, при котором угол между лучами АО и ОB составляет ровно $\pi/2$ (граничное значение)
$a tg \alpha_{0} = b tg \beta_{0} = b ctg \alpha_{0}$.
Но $b = af/(a - f)$, тогда
$tg \alpha_{0} = \sqrt{f/(a - f)}$.
