Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6751
2018-03-10 
Непрозрачное тело имеет форму конуса (рис.), у которого угол между осью и образующей равен $\alpha = \pi/3$. Его погрузили в прозрачную жидкость вершиной вниз так, чтобы ось была вертикальна. Оказалось, что подводную часть боковой поверхности конуса нельзя увидеть ни из одной точки пространства над поверхностью жидкости. Каково должно быть минимальное значение показателя преломления жидкости $n$, чтобы выполнялось это условие?
Решение:
Покажем сначала, что все углы, под которыми лучи света, идущие от различных точек боковой поверхности конуса, падают на поверхность жидкости не меньше $\alpha_{min} = \pi /3$.
Действительно, рассмотрим произвольную точку А боковой поверхности конуса. Проведем через эту точку касательную к поверхности конуса плоскость (рис. а). Эта плоскость, очевидно, пройдет через образующую конуса, на которой лежит точка A, и пересечет поверхность жидкости по горизонтальной прямой $BB^{ \prime}$. Прямая $BB^{ \prime}$, в свою очередь, касательна круговому сечению конической поверхности поверхностью воды в точке С. Все выходящие из точки А лучи либо лежат в указанной плоскости, либо окажутся в той части пространства, отделяемого касательной плоскостью, где нет конической поверхности. Следовательно, те нз лучей, которые дойдут до поверхности воды, пересекут последнюю либо по прямой $BB^{ \prime}$, либо правее (см. рис. а). Кратчайший путь до поверхности воды проделает один-единственный луч—тот, который идет по образующей конуса. Он будет лежать в касательной плоскости и по теореме о трех перпендикулярах будет перпендикулярен прямой $BB^{ \prime}$. Опустим теперь перпендикуляр из точки А на поверхность жидкости, получим точку $A^{ \prime}$ (на рис. б показан вид сверху на поверхность жидкости). Если рассмотреть произвольный луч, выходящий из точки А и не совпадающий с образующей конуса, то он «выйдет» на поверхность жидкости либо в точке прямой $BB^{ \prime}$, например, $D_{1}$ или где-то справа от прямой ВВ - в точке $D_{2}$. Легко видеть, что $A^{ \prime}D_{1} > A^{ \prime}C, A^{ \prime}D_{2} > AC$. Но отрезки $A^{ \prime}D_{1}, A^{ \prime}D_{2}$ и $A^{ \prime} C$ являются проекциями отрезков $AD_{1}, AD_{2}$ и $AC$ на поверхность жидкости. Следовательно, будут выполнены и неравенства $AD_{1} > AC$ и $AD_{2} > AC$.
Углы падения лучей $AC - \alpha_{0}, AD_{1} - \alpha_{1}$ и $AD_{2} - \alpha_{2}$ находятся из уравнений
$\cos \alpha_{0} = \frac{AA^{ \prime} }{AC}, \cos \alpha_{1} = \frac{AA^{ \prime} }{AD_{1} }, \cos \alpha_{2} = \frac{AA^{ \prime}}{AD_{2} }$.
Так как отрезок $AC$ самый короткий, то и угол падения луча АС на поверхность жидкости будет минимальным из всех возможный. Итак,
$\alpha_{0} = \frac{ \pi}{3} = \alpha_{min}$.
Если угол $\alpha_{0}$ будет углом полного внутреннего отражения для границы раздела жидкость — воздух, то ни одни нз лучей, идущих] of боковой поверхности конуса, не выйдет наружу. В этом случае] ни из одной точки пространства над поверхностью жидкости конус не будет виден.
Минимальное значение показателя преломления жидкости $n_{min}$ найдем из условия полного внутреннего отражения для луча, падающего на поверхность жидкости под углом $\alpha_{0}$
$\sin \alpha_{0} = \frac{1}{n_{min} },$ но $\sin \alpha_{0} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$.
Следовательно,
$n_{min} = \frac{1}{ \sin \alpha_{0} } = \frac{2}{ \sqrt{3} }$.
Таким образом, для параксиальных лучей (т. е. лучей, для которых $\Delta \phi \ll 1$) изображение источника оказывается в точке падения луча, испытавшего полное отражение (в точке В).
Непрозрачное тело имеет форму конуса (рис.), у которого угол между осью и образующей равен $\alpha = \pi/3$. Его погрузили в прозрачную жидкость вершиной вниз так, чтобы ось была вертикальна. Оказалось, что подводную часть боковой поверхности конуса нельзя увидеть ни из одной точки пространства над поверхностью жидкости. Каково должно быть минимальное значение показателя преломления жидкости $n$, чтобы выполнялось это условие?
Решение:
Покажем сначала, что все углы, под которыми лучи света, идущие от различных точек боковой поверхности конуса, падают на поверхность жидкости не меньше $\alpha_{min} = \pi /3$.
Действительно, рассмотрим произвольную точку А боковой поверхности конуса. Проведем через эту точку касательную к поверхности конуса плоскость (рис. а). Эта плоскость, очевидно, пройдет через образующую конуса, на которой лежит точка A, и пересечет поверхность жидкости по горизонтальной прямой $BB^{ \prime}$. Прямая $BB^{ \prime}$, в свою очередь, касательна круговому сечению конической поверхности поверхностью воды в точке С. Все выходящие из точки А лучи либо лежат в указанной плоскости, либо окажутся в той части пространства, отделяемого касательной плоскостью, где нет конической поверхности. Следовательно, те нз лучей, которые дойдут до поверхности воды, пересекут последнюю либо по прямой $BB^{ \prime}$, либо правее (см. рис. а). Кратчайший путь до поверхности воды проделает один-единственный луч—тот, который идет по образующей конуса. Он будет лежать в касательной плоскости и по теореме о трех перпендикулярах будет перпендикулярен прямой $BB^{ \prime}$. Опустим теперь перпендикуляр из точки А на поверхность жидкости, получим точку $A^{ \prime}$ (на рис. б показан вид сверху на поверхность жидкости). Если рассмотреть произвольный луч, выходящий из точки А и не совпадающий с образующей конуса, то он «выйдет» на поверхность жидкости либо в точке прямой $BB^{ \prime}$, например, $D_{1}$ или где-то справа от прямой ВВ - в точке $D_{2}$. Легко видеть, что $A^{ \prime}D_{1} > A^{ \prime}C, A^{ \prime}D_{2} > AC$. Но отрезки $A^{ \prime}D_{1}, A^{ \prime}D_{2}$ и $A^{ \prime} C$ являются проекциями отрезков $AD_{1}, AD_{2}$ и $AC$ на поверхность жидкости. Следовательно, будут выполнены и неравенства $AD_{1} > AC$ и $AD_{2} > AC$.
Углы падения лучей $AC - \alpha_{0}, AD_{1} - \alpha_{1}$ и $AD_{2} - \alpha_{2}$ находятся из уравнений
$\cos \alpha_{0} = \frac{AA^{ \prime} }{AC}, \cos \alpha_{1} = \frac{AA^{ \prime} }{AD_{1} }, \cos \alpha_{2} = \frac{AA^{ \prime}}{AD_{2} }$.
Так как отрезок $AC$ самый короткий, то и угол падения луча АС на поверхность жидкости будет минимальным из всех возможный. Итак,
$\alpha_{0} = \frac{ \pi}{3} = \alpha_{min}$.
Если угол $\alpha_{0}$ будет углом полного внутреннего отражения для границы раздела жидкость — воздух, то ни одни нз лучей, идущих] of боковой поверхности конуса, не выйдет наружу. В этом случае] ни из одной точки пространства над поверхностью жидкости конус не будет виден.
Минимальное значение показателя преломления жидкости $n_{min}$ найдем из условия полного внутреннего отражения для луча, падающего на поверхность жидкости под углом $\alpha_{0}$
$\sin \alpha_{0} = \frac{1}{n_{min} },$ но $\sin \alpha_{0} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$.
Следовательно,
$n_{min} = \frac{1}{ \sin \alpha_{0} } = \frac{2}{ \sqrt{3} }$.
Таким образом, для параксиальных лучей (т. е. лучей, для которых $\Delta \phi \ll 1$) изображение источника оказывается в точке падения луча, испытавшего полное отражение (в точке В).
