Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 674
2014-06-01 
Определите сопротивление цепи $R_{АВ}$ между точками А и В каркаса, составленного из девяти одинаковых проволочек сопротивлением $R$ каждая (рис.).
Решение:
рис.1
рис.2
Для решения задачи представим схему цепи в более симметричном виде (рис. 1). Полученную схему не удается упростить путем разъединения или соединения узлов (или путем удаления каких-нибудь проводников), чтобы упрощенная схема представляла собой лишь параллельные и последовательные соединения проводников. Однако, поскольку любая задача на постоянный ток имеет единственное решение, попытаемся «угадать», используя симметрию схемы, сходство в силах токов, протекающих по цепи.
Подадим на нашу цепь напряжение $U$. Проставим во всех участках цепи токи. В данном случае нам понадобится не девять величин (как было бы при произвольных значениях сопротивлений участков цепи), а лишь пять величин: $I_{1},I_{2},I_{3},I_{4},I_{5}$ (рис. 2). При таких токах первое правило Кирхгофа, записанное для узла С:
$I_{1}=I_{3}+I_{6}$,
и узла D:
$I_{2}+I_{3}=I_{4}+I_{5}$,
автоматически выполняется для узлов $E$ и $F$ (именно в этом проявило себя равенство сопротивлений всех резисторов схемы). Запишем теперь втоpoe правило Кирхгофа, чтобы получить систему пяти независимых уравнений:
$( I_{2}+I_{5} + I_{1})R=U$,
$(I_{3}+I_{4})R=I_{5}R$,
$(I_{1}+I_{3})R=I_{2}R$.
где $R$ - сопротивление каждого резистора. Решая систему пяти уравнений, выразим все токи в цепи через ток $I_{1}$:
$I_{2}= \frac{6}{5}I_{1}, I_{3}= \frac{1}{5}I_{1}, I_{4}= \frac{3}{5}I_{1}, I_{5}= \frac{4}{5}I_{1}.$
Кроме того,
$U=(I_{1}+ \frac{4}{5}I_{1} + \frac{6}{5}I_{1})R$.
Следовательно, $ U/I_{1} = 3R$.
Учитывая, что сопротивление цепи $R_{AB}$ удовлетворяет уравнению $R_{AB}=U/(I_{1}+I_{2})$, находим, что
$R_{AB}=\frac{U}{I_{1}+I_{2}}=\frac{U}{I_{1}+(6/5)I_{1}}=\frac{5}{11} \frac{U}{I_{1}}$.
Отсюда с учетом полученного выше соотношения искомое сопротивление равно
$R_{AB}=(15/11)R$.
Определите сопротивление цепи $R_{АВ}$ между точками А и В каркаса, составленного из девяти одинаковых проволочек сопротивлением $R$ каждая (рис.).
Решение:
рис.1
рис.2
Для решения задачи представим схему цепи в более симметричном виде (рис. 1). Полученную схему не удается упростить путем разъединения или соединения узлов (или путем удаления каких-нибудь проводников), чтобы упрощенная схема представляла собой лишь параллельные и последовательные соединения проводников. Однако, поскольку любая задача на постоянный ток имеет единственное решение, попытаемся «угадать», используя симметрию схемы, сходство в силах токов, протекающих по цепи.
Подадим на нашу цепь напряжение $U$. Проставим во всех участках цепи токи. В данном случае нам понадобится не девять величин (как было бы при произвольных значениях сопротивлений участков цепи), а лишь пять величин: $I_{1},I_{2},I_{3},I_{4},I_{5}$ (рис. 2). При таких токах первое правило Кирхгофа, записанное для узла С:
$I_{1}=I_{3}+I_{6}$,
и узла D:
$I_{2}+I_{3}=I_{4}+I_{5}$,
автоматически выполняется для узлов $E$ и $F$ (именно в этом проявило себя равенство сопротивлений всех резисторов схемы). Запишем теперь втоpoe правило Кирхгофа, чтобы получить систему пяти независимых уравнений:
$( I_{2}+I_{5} + I_{1})R=U$,
$(I_{3}+I_{4})R=I_{5}R$,
$(I_{1}+I_{3})R=I_{2}R$.
где $R$ - сопротивление каждого резистора. Решая систему пяти уравнений, выразим все токи в цепи через ток $I_{1}$:
$I_{2}= \frac{6}{5}I_{1}, I_{3}= \frac{1}{5}I_{1}, I_{4}= \frac{3}{5}I_{1}, I_{5}= \frac{4}{5}I_{1}.$
Кроме того,
$U=(I_{1}+ \frac{4}{5}I_{1} + \frac{6}{5}I_{1})R$.
Следовательно, $ U/I_{1} = 3R$.
Учитывая, что сопротивление цепи $R_{AB}$ удовлетворяет уравнению $R_{AB}=U/(I_{1}+I_{2})$, находим, что
$R_{AB}=\frac{U}{I_{1}+I_{2}}=\frac{U}{I_{1}+(6/5)I_{1}}=\frac{5}{11} \frac{U}{I_{1}}$.
Отсюда с учетом полученного выше соотношения искомое сопротивление равно
$R_{AB}=(15/11)R$.
