Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6732
2018-03-10 
Первоначально заряженный конденсатор емкости $C$ подключают к последовательно соединенным батарее с напряжением $U$ и катушке с индуктивностью $L$. Ток через катушку вначале увеличивается, а затем умень! шается. В тот момент, когда ток становится равным нулю! конденсатор отключают от схемы и подключают вновь! поменяв местами его выводы. Какой максимальный той будет после этого течь через катушку? Как изменится этот ток, если процесс переключения повторить 1984 раза? Сопротивлением цепи пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда ток через катушку станет равным нулю, энергия конденсатора будет равна работе, которую произвела батарея. Следовательно, заряд конденсатора в этот момент определяется условием
$\frac{q_{0}^{2} }{2C} = U_{0}q_{0}$,
откуда
$q_{0} = 2CU_{0}$.
Найдем максимальный ток через катушку после подключения конденсатора. Условие максимума тока - $I^{ \prime} = 0$, т. е. $\mathcal{E}_{инд} = - LI^{ \prime} = 0$; значит, в тот момент, когда ток максимален, напряжение на конденсаторе равно $U_{0}$ и «компенсирует» напряжение батареи (рис. а). Из закона сохранения энергии
$U_{0}CU_{0} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}$
находим максимальное значение тока:
$I_{0} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
Рассмотрим схему после переключения (рис. б). Ток через катушку равен нулю (только в тот момент, когда энергия катушки равна нулю, ее можно «безнаказанно» отключить от цепи). В тот момент, когда ток достигнет искомого максимального значения $I_{1}$ напряжение на конденсаторе будет равно $U_{0}$; значит, к этому моменту по цепи протечет заряд $3CU_{0}$, и, согласно закону сохранения энергии.
$U_{0}2CU_{0} + C \frac{(2U_{0} )^{2} }{2} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{1}^{2} }{2}$.
Отсюда
$I_{1} = 2U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L}}$,
Перед следующим, вторым, переключением, когда ток через катушку будет равен нулю, на конденсаторе будет заряд $q_{1}$ который, как и в первом случае, найдем из условия
$U_{0}(2CU_{0} + q_{1} ) + C \frac{(2U_{0} )^{2} }{2} = \frac{q_{1}^{2} }{2C}$.
Отсюда
$q_{1} - 2CU_{0}q_{1} - 8C^{2}U_{0}^{2} = 0$,
$q_{1} = CU_{0} \pm 3CU_{0}$.
Следовательно, решение с $q_{1} = -2CU_{0}$ не подходит (подумайте, какому случаю оно соответствует). Значит,
$q_{1} = 4CU_{0}$.
Максимальное значение тока после второго переключения будет $I_{2} = 5U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$, после третьего переключения - $I_{3} = 7U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L}}$ и т. д. После $n$ переключений
$I_{n} = (2n + 1) U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
При $n = 1984$ получим
$I_{1984} = 3969U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
Первоначально заряженный конденсатор емкости $C$ подключают к последовательно соединенным батарее с напряжением $U$ и катушке с индуктивностью $L$. Ток через катушку вначале увеличивается, а затем умень! шается. В тот момент, когда ток становится равным нулю! конденсатор отключают от схемы и подключают вновь! поменяв местами его выводы. Какой максимальный той будет после этого течь через катушку? Как изменится этот ток, если процесс переключения повторить 1984 раза? Сопротивлением цепи пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда ток через катушку станет равным нулю, энергия конденсатора будет равна работе, которую произвела батарея. Следовательно, заряд конденсатора в этот момент определяется условием
$\frac{q_{0}^{2} }{2C} = U_{0}q_{0}$,
откуда
$q_{0} = 2CU_{0}$.
Найдем максимальный ток через катушку после подключения конденсатора. Условие максимума тока - $I^{ \prime} = 0$, т. е. $\mathcal{E}_{инд} = - LI^{ \prime} = 0$; значит, в тот момент, когда ток максимален, напряжение на конденсаторе равно $U_{0}$ и «компенсирует» напряжение батареи (рис. а). Из закона сохранения энергии
$U_{0}CU_{0} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}$
находим максимальное значение тока:
$I_{0} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
Рассмотрим схему после переключения (рис. б). Ток через катушку равен нулю (только в тот момент, когда энергия катушки равна нулю, ее можно «безнаказанно» отключить от цепи). В тот момент, когда ток достигнет искомого максимального значения $I_{1}$ напряжение на конденсаторе будет равно $U_{0}$; значит, к этому моменту по цепи протечет заряд $3CU_{0}$, и, согласно закону сохранения энергии.
$U_{0}2CU_{0} + C \frac{(2U_{0} )^{2} }{2} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{1}^{2} }{2}$.
Отсюда
$I_{1} = 2U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L}}$,
Перед следующим, вторым, переключением, когда ток через катушку будет равен нулю, на конденсаторе будет заряд $q_{1}$ который, как и в первом случае, найдем из условия
$U_{0}(2CU_{0} + q_{1} ) + C \frac{(2U_{0} )^{2} }{2} = \frac{q_{1}^{2} }{2C}$.
Отсюда
$q_{1} - 2CU_{0}q_{1} - 8C^{2}U_{0}^{2} = 0$,
$q_{1} = CU_{0} \pm 3CU_{0}$.
Следовательно, решение с $q_{1} = -2CU_{0}$ не подходит (подумайте, какому случаю оно соответствует). Значит,
$q_{1} = 4CU_{0}$.
Максимальное значение тока после второго переключения будет $I_{2} = 5U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$, после третьего переключения - $I_{3} = 7U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L}}$ и т. д. После $n$ переключений
$I_{n} = (2n + 1) U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
При $n = 1984$ получим
$I_{1984} = 3969U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
