Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6727
2018-03-10 
Для того чтобы получить две совершенно одинаковые катушки, их наматывают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложенные вместе провода (рис.). Одну из катушек подключают через ключ К к батарейке с напряжением $U_{0}$ вторую — к резистору $R$. Ключ замыкают. Рассчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.
Через время $\tau$ ключ размыкают. Какое количество теплоты выделится в резисторе, начиная с этою момента? Индуктивность каждой из катушек $L$. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов пренебречь.
Решение:
При расчете ЭДС индукции в цепи каждой катушки нужно учитывать полный магнитный поток через нее, т. е, сумму потоков, создаваемых токами обеих катушек.
После замыкания ключа в обеих - цепях возникают одинаковые ЭДС $\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2} = U_{0}$ и мощность, выделяющаяся на резисторе,
$P = \frac{ \mathcal{E}_{2}^{2} }{R} = \frac{U_{0}^{2} }{R}$.
Ток, текущий через вторую катушку, $I_{2} = U_{0}/R$. Магнитный поток, пронизывающий первую катушку,
$\Phi_{1} = LI_{1} + LI_{2}$,
где $I_{1}$ — ток через первую катушку и через батарейку. (Поток через каждую катушку, создаваемый током $I_{2}$, один и тот же — катушки намотаны вместе.) Следовательно,
$\mathcal{E}_{1} = U_{0} = \left | \frac{d \Phi_{1} }{dt} \right | = \left | L \frac{ dI_{1}}{dt} + L \frac{dI_{2} }{dt } \right | = \left | L \frac{dI_{1} }{dt} \right |$
(так как $I_{2} = const$). Отсюда
$I_{1} = \frac{U_{0} }{R} + \frac{U_{0} }{L} t$.
График $I_{1}(t)$ приведен на рис. Скачок тока в первый момент связан с тем, что полный поток через катушки не должен меняться скачком, и сразу после включения возникает добавочный поток, направленный против потока, создаваемого первой катушкой.
К моменту размыкания ключа полный поток через вторую катушку
$\Phi_{2} = - LI_{2} + LI_{1r} = L \frac{U_{0} }{L} \tau = U_{0} \tau$.
Сразу после размыкания ключа в этой катушке возникнет ток
$I_{p} = \frac{U_{0} \tau }{L}$,
поскольку поток через катушку не должен меняться скачком. Тепло, которое выделится на резисторе с момента размыкания,—
$W = \frac{1}{2} LI_{p}^{2} = \frac{U_{0}^{2} \tau^{2} }{2L}$.
Для того чтобы получить две совершенно одинаковые катушки, их наматывают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложенные вместе провода (рис.). Одну из катушек подключают через ключ К к батарейке с напряжением $U_{0}$ вторую — к резистору $R$. Ключ замыкают. Рассчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.
Через время $\tau$ ключ размыкают. Какое количество теплоты выделится в резисторе, начиная с этою момента? Индуктивность каждой из катушек $L$. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов пренебречь.
Решение:
При расчете ЭДС индукции в цепи каждой катушки нужно учитывать полный магнитный поток через нее, т. е, сумму потоков, создаваемых токами обеих катушек.
После замыкания ключа в обеих - цепях возникают одинаковые ЭДС $\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2} = U_{0}$ и мощность, выделяющаяся на резисторе,
$P = \frac{ \mathcal{E}_{2}^{2} }{R} = \frac{U_{0}^{2} }{R}$.
Ток, текущий через вторую катушку, $I_{2} = U_{0}/R$. Магнитный поток, пронизывающий первую катушку,
$\Phi_{1} = LI_{1} + LI_{2}$,
где $I_{1}$ — ток через первую катушку и через батарейку. (Поток через каждую катушку, создаваемый током $I_{2}$, один и тот же — катушки намотаны вместе.) Следовательно,
$\mathcal{E}_{1} = U_{0} = \left | \frac{d \Phi_{1} }{dt} \right | = \left | L \frac{ dI_{1}}{dt} + L \frac{dI_{2} }{dt } \right | = \left | L \frac{dI_{1} }{dt} \right |$
(так как $I_{2} = const$). Отсюда
$I_{1} = \frac{U_{0} }{R} + \frac{U_{0} }{L} t$.
График $I_{1}(t)$ приведен на рис. Скачок тока в первый момент связан с тем, что полный поток через катушки не должен меняться скачком, и сразу после включения возникает добавочный поток, направленный против потока, создаваемого первой катушкой.
К моменту размыкания ключа полный поток через вторую катушку
$\Phi_{2} = - LI_{2} + LI_{1r} = L \frac{U_{0} }{L} \tau = U_{0} \tau$.
Сразу после размыкания ключа в этой катушке возникнет ток
$I_{p} = \frac{U_{0} \tau }{L}$,
поскольку поток через катушку не должен меняться скачком. Тепло, которое выделится на резисторе с момента размыкания,—
$W = \frac{1}{2} LI_{p}^{2} = \frac{U_{0}^{2} \tau^{2} }{2L}$.
