Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6724
2018-03-10 
Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рамка со стороной $a$ расположена горизонтально и находится в неоднородном магнитном поле (рис.), индукция которого меняется в пространстве по закону
$B_{x} = - kx, B_{y} = 0, B_{z} = kz + B_{0}$.
Масса рамки $m$, индуктивность $L$. В начальный момент центр рамки совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям х и у. Рамку отпускают. Как она будет двигаться и где окажется через время $t$?
Решение:
Магнитный поток, пронизывающий площадку, ограниченную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно, $\Delta \Phi / \Delta t = \mathcal{E}$, но $\mathcal{E} = IR = 0$ (поскольку $R = 0$), следовательно, $\Phi = const$.
Магнитный поток через площадку, ограниченную контуром, складывается из потока внешнего магнитного полн и потока магнитного поля, создаваемого током $I$, текущим через контур. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, в любой момент времени
$\Phi = a^{2}B_{0} + a^{2} \alpha z + LI$.
Так как в начальный момент ($z = 0, I = 0$) $\Phi = B_{0} a^{2}$, в любой другой момент времени сила тока $I$ будет определяться соотношением
$LI = - \alpha z a^{2}, I = - \alpha z a^{2}/L$.
Результирующая сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током $I$, направлена вдоль оси z и равна сумме сил, действующих на те стороны рамки, которые параллельны оси у, т. е.
$F = 2a| \alpha x| I = a^{2} \alpha I$ ($x = \pm a /2$).
Таким образом, уравнение движения рамки имеет вид
$mz^{ \prime \prime} = - mg + \alpha a^{2} I = -mg - a^{4} \alpha^{2} z / L$,
Это уравнение по форме совпадает с уравнением колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине жесткостью $k = \alpha^{2}a^{4}/L$:
$mz^{ \prime \prime} = - mg - kz$.
Из этой аналогии ясно, что рамка будет совершать гармонические колебания вдоль оси z около положения равновесия, определяемого из условия
$\frac{ \alpha^{2} a^{4} }{ L } z_{0} = - mg, z_{0} = - \frac{mg }{ a^{4} \alpha^{2} }$.
Частота этих колебаний рамки будет
$\omega = \frac{ \alpha a^{2} }{ \sqrt{Lm} }$.
Координата рамки через время $t$ после начала движения
$z = \frac{mgL}{ \alpha^{2} a^{4} } \left [ -1 + \cos \left ( \frac{ \alpha a^{2} }{ \sqrt{Lm} } t \right ) \right ] $.
Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рамка со стороной $a$ расположена горизонтально и находится в неоднородном магнитном поле (рис.), индукция которого меняется в пространстве по закону
$B_{x} = - kx, B_{y} = 0, B_{z} = kz + B_{0}$.
Масса рамки $m$, индуктивность $L$. В начальный момент центр рамки совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям х и у. Рамку отпускают. Как она будет двигаться и где окажется через время $t$?
Решение:
Магнитный поток, пронизывающий площадку, ограниченную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно, $\Delta \Phi / \Delta t = \mathcal{E}$, но $\mathcal{E} = IR = 0$ (поскольку $R = 0$), следовательно, $\Phi = const$.
Магнитный поток через площадку, ограниченную контуром, складывается из потока внешнего магнитного полн и потока магнитного поля, создаваемого током $I$, текущим через контур. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, в любой момент времени
$\Phi = a^{2}B_{0} + a^{2} \alpha z + LI$.
Так как в начальный момент ($z = 0, I = 0$) $\Phi = B_{0} a^{2}$, в любой другой момент времени сила тока $I$ будет определяться соотношением
$LI = - \alpha z a^{2}, I = - \alpha z a^{2}/L$.
Результирующая сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током $I$, направлена вдоль оси z и равна сумме сил, действующих на те стороны рамки, которые параллельны оси у, т. е.
$F = 2a| \alpha x| I = a^{2} \alpha I$ ($x = \pm a /2$).
Таким образом, уравнение движения рамки имеет вид
$mz^{ \prime \prime} = - mg + \alpha a^{2} I = -mg - a^{4} \alpha^{2} z / L$,
Это уравнение по форме совпадает с уравнением колебаний тела массой $m$, подвешенного на пружине жесткостью $k = \alpha^{2}a^{4}/L$:
$mz^{ \prime \prime} = - mg - kz$.
Из этой аналогии ясно, что рамка будет совершать гармонические колебания вдоль оси z около положения равновесия, определяемого из условия
$\frac{ \alpha^{2} a^{4} }{ L } z_{0} = - mg, z_{0} = - \frac{mg }{ a^{4} \alpha^{2} }$.
Частота этих колебаний рамки будет
$\omega = \frac{ \alpha a^{2} }{ \sqrt{Lm} }$.
Координата рамки через время $t$ после начала движения
$z = \frac{mgL}{ \alpha^{2} a^{4} } \left [ -1 + \cos \left ( \frac{ \alpha a^{2} }{ \sqrt{Lm} } t \right ) \right ] $.
