Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6722
2018-03-10 
Во сколько раз величина вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$ в центре кольца радиуса $R$, больше (или меньше) величины вектора магнитной индукции, создаваемого системой последовательно соединенных проводящих дуг окружности радиуса $R$ углового размера $\pi /2$, лежащих попарно через одну в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, по которым идет такой же ток (рис.)? Какой угол с вертикалью образует вектор индукции, созданный системой дуг?
Решение:
Пусть по тонкому кольцу радиуса $R$ течет ток $I$ (рис. а). Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Пусть в центре кольца магнитная индукция $B_{1}$. Поскольку при повороте кольца на любой угол относительно его оси система совмещается (переходит в себя), вектор магнитной индукции в центре кольца должен быть направлен вдоль оеи — иначе после поворота кольца вокруг оси на конечный угол вектор магнитной индукции будет описывать коническую поверхность и после поворота на угол, не равный $2 \pi$, не совместится со своим первоначальным положением. Рассмотрим теперь два участка кольца с током, представляющие собой две дуги окружности длиной $\pi R/2$, середины которых лежат на одном диаметре (рис. б). Очевидно, данная система самосовмещается при повороте относительно оси кольца на угол $\pi$. Следовательно, и в этом случае вектор магнитной индукции также будет направлен по оси кольца. Но в силу принципа суперпозиции он будет в два раза меньше, чем для полного кольца. В настоящей задаче система проводников представляет собой набор из трех пар дуг взаимно перпендикулярных колец. Поэтому полный вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$ в их общем центре будет представлять геометрическую сумму трех взаимно перпендикулярных векторов величины $B_{1}/2$. Следовательно, полная магнитная индукция в центре системы будет
$B_{2} = \sqrt{3} B_{1}/2$.
Следовательно,
$\frac{B_{1} }{B_{2} } = \frac{2}{ \sqrt{3}} > 1$.
С вертикалью этот вектор образует угол $\alpha$ такой, что
$\cos \alpha = \frac{B_{1} }{2B_{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
Итак,
$\alpha = arccos \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
Во сколько раз величина вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$ в центре кольца радиуса $R$, больше (или меньше) величины вектора магнитной индукции, создаваемого системой последовательно соединенных проводящих дуг окружности радиуса $R$ углового размера $\pi /2$, лежащих попарно через одну в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, по которым идет такой же ток (рис.)? Какой угол с вертикалью образует вектор индукции, созданный системой дуг?
Решение:
Пусть по тонкому кольцу радиуса $R$ течет ток $I$ (рис. а). Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Пусть в центре кольца магнитная индукция $B_{1}$. Поскольку при повороте кольца на любой угол относительно его оси система совмещается (переходит в себя), вектор магнитной индукции в центре кольца должен быть направлен вдоль оеи — иначе после поворота кольца вокруг оси на конечный угол вектор магнитной индукции будет описывать коническую поверхность и после поворота на угол, не равный $2 \pi$, не совместится со своим первоначальным положением. Рассмотрим теперь два участка кольца с током, представляющие собой две дуги окружности длиной $\pi R/2$, середины которых лежат на одном диаметре (рис. б). Очевидно, данная система самосовмещается при повороте относительно оси кольца на угол $\pi$. Следовательно, и в этом случае вектор магнитной индукции также будет направлен по оси кольца. Но в силу принципа суперпозиции он будет в два раза меньше, чем для полного кольца. В настоящей задаче система проводников представляет собой набор из трех пар дуг взаимно перпендикулярных колец. Поэтому полный вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$ в их общем центре будет представлять геометрическую сумму трех взаимно перпендикулярных векторов величины $B_{1}/2$. Следовательно, полная магнитная индукция в центре системы будет
$B_{2} = \sqrt{3} B_{1}/2$.
Следовательно,
$\frac{B_{1} }{B_{2} } = \frac{2}{ \sqrt{3}} > 1$.
С вертикалью этот вектор образует угол $\alpha$ такой, что
$\cos \alpha = \frac{B_{1} }{2B_{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
Итак,
$\alpha = arccos \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
