Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6714
2018-03-10 
Три одинаковых конденсатора, каждый емкости $C$, соединили последовательно и подключили к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. После того как они полностью зарядились, их отключили от батареи. Затем к ним одновременно подключили два резистора с сопротивлением $R$ каждый так, как показано на рис. Какое количество тепла выделится на каждом из резисторов? Чему равны токи через резисторы в момент времени, когда напряжение на среднем конденсаторе в 10 раз меньше ЭДС батареи?
Решение:
Самое главное - конденсаторы в этой схеме не разряжаются полностью. После того как ток в цепи станет равным нулю, конденсаторы окажутся соединенными параллельно, т.е. напряжения на них окажутся одинаковыми.
Ток, разряжающий средний конденсатор, равен сумме токов в цепях с крайними конденсаторами, а так как в силу симметрии те равны между собой (рис.), то
$I_{2} = 2I_{1}$.
Обозначим напряжение на конденсаторах в конце процесса $U_{x}$. Поскольку начальное напряжение на каждом из них было $\mathcal{E}/3$, за время разряда через крайние конденсаторы протекут заряды $q_{1} = C \left ( \frac{ \mathcal{E}} {3} - U_{x} \right )$, а через средний - заряд $q_{2} = C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + U_{x} \right )$ (заряд среднего конденсатора станет противоположным). Ясно, что $q_{2} = 2q_{1}$, т.е.
$2C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{x} \right ) = C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + U_{x} \right )$,
откуда
$U_{x} = \frac{1}{9} \mathcal{E}$.
Тепло, которое выделится на каждом из резисторов, найдем из закона сохранения энергии:
$Q_{1} = Q_{2} = \frac{1}{2}( W_{нач} - W_{кон}) = \frac{1}{2} 3 \frac{C}{2} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} \right )^{2} - \frac{1}{2} 3 \frac{C}{2} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{9} \right )^{2} = \frac{2}{27} C \mathcal{E}^{2}$.
При перезарядке среднего конденсатора напряжение $\mathcal{E}/10$ будет на нем дважды—во время разряда от $\mathcal{E}/3$ до 0 и во время зарядки от 0 до $\mathcal{E}/9$. Для первого случая, согласно закону Ома,
$U_{t1} + \frac{ \mathcal{E} }{10} = RI_{t1}$ (1)
($U_{t1}$ - напряжение на крайних конденсаторах в этот момент); заряды, которые протекут к этому моменту через крайние конденсаторы и через средний, связаны соотношением
$C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{t1} \right ) = \frac{1}{2} C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - \frac{ \mathcal{E} }{10} \right )$. (2)
Решая совместно (1) и (2), находим ток $I_{t1}$, текущий в первом случае через резисторы:
$I_{t1} = \frac{10}{60 } \frac{ \mathcal{E}}{R}$.
Составляя аналогичные уравнения для второго случая:
$U_{t2} - \frac{ \mathcal{E} }{ 10 } = RI_{t2}, C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{t2} \right ) = \frac{1}{2} C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + \frac{ \mathcal{E} }{10} \right )$,
находим
$I_{t2} = \frac{1}{60} \frac{ \mathcal{E} }{R}$.
Три одинаковых конденсатора, каждый емкости $C$, соединили последовательно и подключили к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. После того как они полностью зарядились, их отключили от батареи. Затем к ним одновременно подключили два резистора с сопротивлением $R$ каждый так, как показано на рис. Какое количество тепла выделится на каждом из резисторов? Чему равны токи через резисторы в момент времени, когда напряжение на среднем конденсаторе в 10 раз меньше ЭДС батареи?
Решение:
Самое главное - конденсаторы в этой схеме не разряжаются полностью. После того как ток в цепи станет равным нулю, конденсаторы окажутся соединенными параллельно, т.е. напряжения на них окажутся одинаковыми.
Ток, разряжающий средний конденсатор, равен сумме токов в цепях с крайними конденсаторами, а так как в силу симметрии те равны между собой (рис.), то
$I_{2} = 2I_{1}$.
Обозначим напряжение на конденсаторах в конце процесса $U_{x}$. Поскольку начальное напряжение на каждом из них было $\mathcal{E}/3$, за время разряда через крайние конденсаторы протекут заряды $q_{1} = C \left ( \frac{ \mathcal{E}} {3} - U_{x} \right )$, а через средний - заряд $q_{2} = C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + U_{x} \right )$ (заряд среднего конденсатора станет противоположным). Ясно, что $q_{2} = 2q_{1}$, т.е.
$2C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{x} \right ) = C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + U_{x} \right )$,
откуда
$U_{x} = \frac{1}{9} \mathcal{E}$.
Тепло, которое выделится на каждом из резисторов, найдем из закона сохранения энергии:
$Q_{1} = Q_{2} = \frac{1}{2}( W_{нач} - W_{кон}) = \frac{1}{2} 3 \frac{C}{2} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} \right )^{2} - \frac{1}{2} 3 \frac{C}{2} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{9} \right )^{2} = \frac{2}{27} C \mathcal{E}^{2}$.
При перезарядке среднего конденсатора напряжение $\mathcal{E}/10$ будет на нем дважды—во время разряда от $\mathcal{E}/3$ до 0 и во время зарядки от 0 до $\mathcal{E}/9$. Для первого случая, согласно закону Ома,
$U_{t1} + \frac{ \mathcal{E} }{10} = RI_{t1}$ (1)
($U_{t1}$ - напряжение на крайних конденсаторах в этот момент); заряды, которые протекут к этому моменту через крайние конденсаторы и через средний, связаны соотношением
$C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{t1} \right ) = \frac{1}{2} C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - \frac{ \mathcal{E} }{10} \right )$. (2)
Решая совместно (1) и (2), находим ток $I_{t1}$, текущий в первом случае через резисторы:
$I_{t1} = \frac{10}{60 } \frac{ \mathcal{E}}{R}$.
Составляя аналогичные уравнения для второго случая:
$U_{t2} - \frac{ \mathcal{E} }{ 10 } = RI_{t2}, C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} - U_{t2} \right ) = \frac{1}{2} C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{3} + \frac{ \mathcal{E} }{10} \right )$,
находим
$I_{t2} = \frac{1}{60} \frac{ \mathcal{E} }{R}$.
