Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6706
2018-03-10 
Электростатический вольтметр представляет собой плоский конденсатор, одна из пластин которого закреплена неподвижно, а другая может двигаться, оставаясь параллельной первой пластине. Подвижная пластина прикреплена к стене при помощи пружины жесткости $k = 10 Н/м$. Начальное расстояние между пластинами $d = 3 см$, площадь каждой из пластин $S = 0,5 м^{2}$. Рассчитать шкалу вольтметра. Какое максимальное напряжение можно измерять этим вольтметром? Рассмотреть случаи, когда вязкое трение пренебрежимо мало и весьма велико.
Решение:
Пусть подвижная пластина сместилась на $x$ и расстояние между пластинами стало $d - x$. Условие равновесия пластины - равенство «электрической» и упругой сил:
$\frac{ \epsilon_{0}SU }{ 2 (d - x)^{2} } = kx$,
отсюда уравнение для шкалы
$U = \sqrt{ \frac{2kx (d - x)^{2} }{ \epsilon_{0}S } }$.
Чтобы найти $U_{max}$, исследуем $U(x)$ на максимум. Приравняв производную нулю, получим
$(d - x_{max})^{2} - 2(d - x_{max}) x_{max} = 0, x_{max} = d/3$,
При этом смещение
$U_{max} = U(x_{max} ) = \sqrt{ \frac{8}{27} \frac{kd^{3}}{ \epsilon_{0} S } } \approx 4,3 \cdot 10^{3} В$.
Ясно, что это и есть ответ, когда вязкое трение велико. При малом же трении решение усложняется: пластина может «проскочить» по инерции положение равновесия так, что электрические силы превзойдут упругие и пластины «схлопнутся» Уравнение равенства сил имеет два корня — меньший ($x_{1}$); соответствует устойчивому равновесию, а больший ($x_{2}$)— неустойчивому. Итак, если пластина попадет по инерции во второе равновесное положение и скорость ее не упадет точно до нуля, произойдет «схлопы-вание». Именно это и ограничивает диапазон измеряемых напряжений при малом трении величиной $U_{1} < U_{max}$.
Найдем величину $U_{1}$, соответствующую граничному случаю, используя закон сохранения энергии. При подключении батареи начальная энергия системы
$W_{0} = \frac{C_{0}U_{1}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S }{2d} U_{1}^{2}$,
Если пластина сдвинулась на $x_{2}$, то энергия конденсатора в этом положении
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{ 2( d - x_{2} ) }$.
Работа батареи $A_{бат} = U_{1} (g - g_{нач}) = U_{1} (C_{1}U_{1} - C_{0}U_{1} ) = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{2} \frac{x_{2} }{ d(d - x_{2} ) }$. Энергия пружины $W_{пр} = \frac{ kx_{2}%{2} }{2}$.
Если скорость пластины в положении $x_{2}$ упала до нуля, то $W_{нач} + A_{бат} = W_{кон} + W_{пр}$ или, после упрощений $\frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{d(d - x_{2}) } = kx_{2}$. Но х2 — положение равновесия, т.е.
$kx_{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{1}^{2} }{ 2(d - x_{2})^{2} }$ или $ \frac{ \epsilon_{0}SU_{1}^{2} }{ d( d - x_{2} ) } = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{2(d - x_{2} )^{2} } $.
откуда $x_{2} = 1/2 d$. Тогда
$U_{1} = U (d/2) = \sqrt{ \frac{1}{4} \frac{kd_{3} }{ \epsilon_{0}S } } \approx 3,9 \cdot 10^{3} В$.
Электростатический вольтметр представляет собой плоский конденсатор, одна из пластин которого закреплена неподвижно, а другая может двигаться, оставаясь параллельной первой пластине. Подвижная пластина прикреплена к стене при помощи пружины жесткости $k = 10 Н/м$. Начальное расстояние между пластинами $d = 3 см$, площадь каждой из пластин $S = 0,5 м^{2}$. Рассчитать шкалу вольтметра. Какое максимальное напряжение можно измерять этим вольтметром? Рассмотреть случаи, когда вязкое трение пренебрежимо мало и весьма велико.
Решение:
Пусть подвижная пластина сместилась на $x$ и расстояние между пластинами стало $d - x$. Условие равновесия пластины - равенство «электрической» и упругой сил:
$\frac{ \epsilon_{0}SU }{ 2 (d - x)^{2} } = kx$,
отсюда уравнение для шкалы
$U = \sqrt{ \frac{2kx (d - x)^{2} }{ \epsilon_{0}S } }$.
Чтобы найти $U_{max}$, исследуем $U(x)$ на максимум. Приравняв производную нулю, получим
$(d - x_{max})^{2} - 2(d - x_{max}) x_{max} = 0, x_{max} = d/3$,
При этом смещение
$U_{max} = U(x_{max} ) = \sqrt{ \frac{8}{27} \frac{kd^{3}}{ \epsilon_{0} S } } \approx 4,3 \cdot 10^{3} В$.
Ясно, что это и есть ответ, когда вязкое трение велико. При малом же трении решение усложняется: пластина может «проскочить» по инерции положение равновесия так, что электрические силы превзойдут упругие и пластины «схлопнутся» Уравнение равенства сил имеет два корня — меньший ($x_{1}$); соответствует устойчивому равновесию, а больший ($x_{2}$)— неустойчивому. Итак, если пластина попадет по инерции во второе равновесное положение и скорость ее не упадет точно до нуля, произойдет «схлопы-вание». Именно это и ограничивает диапазон измеряемых напряжений при малом трении величиной $U_{1} < U_{max}$.
Найдем величину $U_{1}$, соответствующую граничному случаю, используя закон сохранения энергии. При подключении батареи начальная энергия системы
$W_{0} = \frac{C_{0}U_{1}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S }{2d} U_{1}^{2}$,
Если пластина сдвинулась на $x_{2}$, то энергия конденсатора в этом положении
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{ 2( d - x_{2} ) }$.
Работа батареи $A_{бат} = U_{1} (g - g_{нач}) = U_{1} (C_{1}U_{1} - C_{0}U_{1} ) = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{2} \frac{x_{2} }{ d(d - x_{2} ) }$. Энергия пружины $W_{пр} = \frac{ kx_{2}%{2} }{2}$.
Если скорость пластины в положении $x_{2}$ упала до нуля, то $W_{нач} + A_{бат} = W_{кон} + W_{пр}$ или, после упрощений $\frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{d(d - x_{2}) } = kx_{2}$. Но х2 — положение равновесия, т.е.
$kx_{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{1}^{2} }{ 2(d - x_{2})^{2} }$ или $ \frac{ \epsilon_{0}SU_{1}^{2} }{ d( d - x_{2} ) } = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2} }{2(d - x_{2} )^{2} } $.
откуда $x_{2} = 1/2 d$. Тогда
$U_{1} = U (d/2) = \sqrt{ \frac{1}{4} \frac{kd_{3} }{ \epsilon_{0}S } } \approx 3,9 \cdot 10^{3} В$.
