Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6705
2018-03-10 
В однородном электрическом поле находится незаряженный металлический шар. При выключении поля в шаре выделилось количество тепла $Q$. Какое количество тепла выделилось бы в аналогичном случае в шаре втрое большего радиуса?
Решение:
Очевидно, при помещении незаряженного металлического шара в однородное электрическое поле на поверхности шара появятся наведенные электрические заряды. Они расположатся по его поверхности так, что напряженность результирующего электрического поля внутри шара будет равной нулю. Ясно, что поверхностная плотность заряда $\sigma$ определяется напряженностью внешнего электрического поля и геометрией проводника. При заданной геометрии чем больше внешнее электрическое поле, тем больше величина $\sigma$ в каждой точке поверхности проводника.
При выключении внешнего электрического поля в шаре выделится тепло за счет потенциальной энергии поля, созданного наведенными на шаре зарядами. Эту энергию можно найти как сумму потенциальных энергий всевозможных пар заряженных точек поверхности шара. Разобьем поверхность шаров на подобные малые участки Энергия взаимодействия пары участков поверхности меньшего шара, находящихся на расстоянии $R_{12}$ друг от друга, равна
$\Delta W = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{ \Delta S_{1} \Delta S_{2} }{R_{12} }$,
где $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ - соответствующие плотности заряда, $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ - площади соответствующих участков. Поверхностные плотности заряда на подобных участках большого шара также равны $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$. (Покажите эго самостоятельно, воспользовавшись принципом суперпозиции и условием равенства нулю напряженности поля внутри проводника.) Если радиус этого шара больше в $n$ раз, чем радиус меньшего шара, то энергия пары подобных участков большого шара равна
$\Delta W^{ \prime} = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{ \Delta S_{1}^{ \prime} \Delta S_{2}^{ \prime} }{R_{12}^{ \prime} } = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{n^{2} \Delta S_{1} \cdot n^{2} \Delta S_{2} }{nR_{12} } = n^{3} \Delta W$,
где $\Delta S_{1}^{ \prime}$ и $\Delta S_{2}^{ \prime}$ - площади соответствующих увеличенных участков, $R_{12}^{ \prime}$ - расстояние между ними.
Таким образом, при увеличении размеров шара в три раза ($n = 3$) потенциальная энергия поля наведенных зарядов увеличится в $3^{3} = 27$ раз и, следовательно, во столько же раз возрастет количество тепла, которое выделится при выключении внешнего поля. Более короткое решение задачи мы получим, если, как и при решении предыдущей задачи, воспользуемся соображениями размерности. Действительно, единственными величинами, через которые будет выражаться запасенная шаром энергия, равная количеству тепла $Q$, будут величина вектора напряженности внешнего однородного поля $E$ и радиус шара $R$. Откуда $Q = \alpha E^{2}R^{2}$. При увеличении радиуса шара в три раза, учитывая физическое подобие ситуаций, количество выделившегося тепла $Q^{ \prime}$ будет удовлетворять соотношению
$Q^{ \prime} = \alpha E^{2} (3R)^{3} = 27Q$.
В однородном электрическом поле находится незаряженный металлический шар. При выключении поля в шаре выделилось количество тепла $Q$. Какое количество тепла выделилось бы в аналогичном случае в шаре втрое большего радиуса?
Решение:
Очевидно, при помещении незаряженного металлического шара в однородное электрическое поле на поверхности шара появятся наведенные электрические заряды. Они расположатся по его поверхности так, что напряженность результирующего электрического поля внутри шара будет равной нулю. Ясно, что поверхностная плотность заряда $\sigma$ определяется напряженностью внешнего электрического поля и геометрией проводника. При заданной геометрии чем больше внешнее электрическое поле, тем больше величина $\sigma$ в каждой точке поверхности проводника.
При выключении внешнего электрического поля в шаре выделится тепло за счет потенциальной энергии поля, созданного наведенными на шаре зарядами. Эту энергию можно найти как сумму потенциальных энергий всевозможных пар заряженных точек поверхности шара. Разобьем поверхность шаров на подобные малые участки Энергия взаимодействия пары участков поверхности меньшего шара, находящихся на расстоянии $R_{12}$ друг от друга, равна
$\Delta W = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{ \Delta S_{1} \Delta S_{2} }{R_{12} }$,
где $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ - соответствующие плотности заряда, $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ - площади соответствующих участков. Поверхностные плотности заряда на подобных участках большого шара также равны $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$. (Покажите эго самостоятельно, воспользовавшись принципом суперпозиции и условием равенства нулю напряженности поля внутри проводника.) Если радиус этого шара больше в $n$ раз, чем радиус меньшего шара, то энергия пары подобных участков большого шара равна
$\Delta W^{ \prime} = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{ \Delta S_{1}^{ \prime} \Delta S_{2}^{ \prime} }{R_{12}^{ \prime} } = k \sigma_{1} \sigma_{2} \frac{n^{2} \Delta S_{1} \cdot n^{2} \Delta S_{2} }{nR_{12} } = n^{3} \Delta W$,
где $\Delta S_{1}^{ \prime}$ и $\Delta S_{2}^{ \prime}$ - площади соответствующих увеличенных участков, $R_{12}^{ \prime}$ - расстояние между ними.
Таким образом, при увеличении размеров шара в три раза ($n = 3$) потенциальная энергия поля наведенных зарядов увеличится в $3^{3} = 27$ раз и, следовательно, во столько же раз возрастет количество тепла, которое выделится при выключении внешнего поля. Более короткое решение задачи мы получим, если, как и при решении предыдущей задачи, воспользуемся соображениями размерности. Действительно, единственными величинами, через которые будет выражаться запасенная шаром энергия, равная количеству тепла $Q$, будут величина вектора напряженности внешнего однородного поля $E$ и радиус шара $R$. Откуда $Q = \alpha E^{2}R^{2}$. При увеличении радиуса шара в три раза, учитывая физическое подобие ситуаций, количество выделившегося тепла $Q^{ \prime}$ будет удовлетворять соотношению
$Q^{ \prime} = \alpha E^{2} (3R)^{3} = 27Q$.
