Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6699
2018-03-10 
В однородном горизонтально направленном электрическом поле находится незаряженный проводящий куб, при этом две его вертикальные грани перпендикулярны вектору напряженности (рис. а). Плотность заряда в середине указанных граней $\sigma_{0}$. Какова будет поверхностная плотность заряда в середине всех граней куба, если он расположен так, что вектор напряженности поля параллелен: а) диагонали горизонтальных оснований куба (рис. б), б) пространственной диагонали куба (рис. в).
Решение:
Сначала докажем, что при первоначальной ориентации куба в электрическом поле поверхностная плотность зарядов, наведенных в центрах граней, параллельных полю (остальных четырех), будет равна нулю. Действительно, пусть напряженность внешнего однородного поля равна $\vec{E}_{0}$. Из соображений симметрии ясно, что поверхностная плотность зарядов, наведенных в серединах четырех граней куба, параллельных вектору $\vec{E}_{0}$ будет одинакова. Примем ее равной $\sigma_{1}$. Изменим теперь направление вектора напряженности внешнего однородного поля на противоположное. Тогда легко понять, что поверхностная плотность наведенных зарядов, оставаясь неизменной по величине, поменяет знак на противоположный в каждой точке поверхности куба. В частности, в серединах отмеченных выше четырех граней эта величина станет равной $\sigma_{1}^{ \prime } = - \sigma_{1}$. Но «получить» ситуацию с повернутым на $180^{ \circ}$ вектором напряженности внешнего поля можно было бы, «повернув» все пространство» (поле вместе с расположенным в нем кубом) на $180^{ \circ}$ относительно вертикальной оси, проходящей через середины горизонтальных граней куба. При этом, очевидно, поверхностная плотность наведенных зарядов в центрах параллельных полю граней не изменится, т. е. $\sigma_{1}^{ \prime } = \sigma_{1}$. Итак, мы получили, одновременно
$\sigma_{1}^{ \prime} = \sigma_{1}$ и $\sigma_{1}^{ \prime} = - \sigma_{1}$,
т. е. $\sigma_{1} = 0$.
Рассмотрим далее случай, на рис. б.
Воспользуемся принципом суперпозиции и будем считать, что куб помещен в систему из двух взаимно перпендикулярных полей, вектор напряженности каждого из которых $\vec{E}_{1}$ и соответственно $\vec{E}_{2}$ в $\sqrt{2}$ раз меньше вектора суммарного поля $\vec{E}_{0}$, т. е. выполнены следующие условия $\vec{E}_{0} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}, | \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{2} | = \vec{E}_{0} / \sqrt{2}, \vec{E}_{1} \perp \vec{E}_{2}$. Легко сообразить, что поле $\vec{E}_{1}$ наводит в центрах перпендикулярных ему граней заряды с поверхностной плотностью $\sigma^{ \prime} = \sigma_{0}/ \sqrt{2}$ так как $E_{1} = E_{0} / \sqrt{2}$, а в центрах остальных четырех граней поверхностная плотность заряда будет равна нулю. Сходные рассуждения проведем и для поля $\vec{E}_{2}$. Тогда поверхностная плотность наведенных зарядов в исходном внешнем однородном поле величины $\vec{E}_{0}$ в центрах всех вертикальных граней будет одинакова по величине и равна $\sigma^{ \prime} = \sigma / \sqrt{2}$. Поверхностная плотность наведенных зарядов в центрах горизонтальных граней будет равна нулю.
В случае, когда куб сориентирован так, как на рис. в, также воспользуемся принципом суперпозиции. Для этого представим внешнее поле как сумму трех взаимно проникающих перпендикулярных полей величиной $E_{0}/ \sqrt{3}$. Рассуждая, как ив предыдущем случае, придем к выводу, что теперь величина поверхностной плотности зарядов, наведенных в центрах всех граней куба, будет равна $\sigma^{ \prime \prime} = \sigma / \sqrt{3}$.
В однородном горизонтально направленном электрическом поле находится незаряженный проводящий куб, при этом две его вертикальные грани перпендикулярны вектору напряженности (рис. а). Плотность заряда в середине указанных граней $\sigma_{0}$. Какова будет поверхностная плотность заряда в середине всех граней куба, если он расположен так, что вектор напряженности поля параллелен: а) диагонали горизонтальных оснований куба (рис. б), б) пространственной диагонали куба (рис. в).
Решение:
Сначала докажем, что при первоначальной ориентации куба в электрическом поле поверхностная плотность зарядов, наведенных в центрах граней, параллельных полю (остальных четырех), будет равна нулю. Действительно, пусть напряженность внешнего однородного поля равна $\vec{E}_{0}$. Из соображений симметрии ясно, что поверхностная плотность зарядов, наведенных в серединах четырех граней куба, параллельных вектору $\vec{E}_{0}$ будет одинакова. Примем ее равной $\sigma_{1}$. Изменим теперь направление вектора напряженности внешнего однородного поля на противоположное. Тогда легко понять, что поверхностная плотность наведенных зарядов, оставаясь неизменной по величине, поменяет знак на противоположный в каждой точке поверхности куба. В частности, в серединах отмеченных выше четырех граней эта величина станет равной $\sigma_{1}^{ \prime } = - \sigma_{1}$. Но «получить» ситуацию с повернутым на $180^{ \circ}$ вектором напряженности внешнего поля можно было бы, «повернув» все пространство» (поле вместе с расположенным в нем кубом) на $180^{ \circ}$ относительно вертикальной оси, проходящей через середины горизонтальных граней куба. При этом, очевидно, поверхностная плотность наведенных зарядов в центрах параллельных полю граней не изменится, т. е. $\sigma_{1}^{ \prime } = \sigma_{1}$. Итак, мы получили, одновременно
$\sigma_{1}^{ \prime} = \sigma_{1}$ и $\sigma_{1}^{ \prime} = - \sigma_{1}$,
т. е. $\sigma_{1} = 0$.
Рассмотрим далее случай, на рис. б.
Воспользуемся принципом суперпозиции и будем считать, что куб помещен в систему из двух взаимно перпендикулярных полей, вектор напряженности каждого из которых $\vec{E}_{1}$ и соответственно $\vec{E}_{2}$ в $\sqrt{2}$ раз меньше вектора суммарного поля $\vec{E}_{0}$, т. е. выполнены следующие условия $\vec{E}_{0} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}, | \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{2} | = \vec{E}_{0} / \sqrt{2}, \vec{E}_{1} \perp \vec{E}_{2}$. Легко сообразить, что поле $\vec{E}_{1}$ наводит в центрах перпендикулярных ему граней заряды с поверхностной плотностью $\sigma^{ \prime} = \sigma_{0}/ \sqrt{2}$ так как $E_{1} = E_{0} / \sqrt{2}$, а в центрах остальных четырех граней поверхностная плотность заряда будет равна нулю. Сходные рассуждения проведем и для поля $\vec{E}_{2}$. Тогда поверхностная плотность наведенных зарядов в исходном внешнем однородном поле величины $\vec{E}_{0}$ в центрах всех вертикальных граней будет одинакова по величине и равна $\sigma^{ \prime} = \sigma / \sqrt{2}$. Поверхностная плотность наведенных зарядов в центрах горизонтальных граней будет равна нулю.
В случае, когда куб сориентирован так, как на рис. в, также воспользуемся принципом суперпозиции. Для этого представим внешнее поле как сумму трех взаимно проникающих перпендикулярных полей величиной $E_{0}/ \sqrt{3}$. Рассуждая, как ив предыдущем случае, придем к выводу, что теперь величина поверхностной плотности зарядов, наведенных в центрах всех граней куба, будет равна $\sigma^{ \prime \prime} = \sigma / \sqrt{3}$.
