Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6698
2018-03-10 
Имеются два проводника А и В произвольной формы. Первоначально на проводнике А имелся заряд $Q$, а проводник В не был заряжен. Проводники приводят в соприкосновение, и на проводник В перетекает заряд $q$. Соприкасающимся проводникам сообщили дополнительно некоторый заряд $q_{x}$, и в результате на проводнике А оказался заряд $q$. Определить заряд $q_{x}$.
Решение:
Напомним некоторые условия, которые выполняются при равновесном распределении зарядов в проводнике. Наличие практически неограниченного числа свободных носителей тока (электронов) приводит к тому, что электрическое поле в толще проводника отсутствует (иначе не прекратилось бы перетекание зарядов внутри проводника). Проводник, таким образом, образует область с постоянным потенциалом. Линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, в частности — внешней поверхности проводника. Еще одним фактом, справедливым для проводников любой формы, является то, что весь сообщенный проводнику заряд располагается на его поверхности (в противном случае внутри проводника существовало бы поле).
Теперь рассмотрим проводник, которому сообщили положительный заряд $Q$. Уместно поставить вопрос: единственным ли образом весь этот заряд сможет растечься по поверхности проводника? Ответ на этот вопрос составляет содержание так называемой теоремы единственности в электростатике.
Предположим, что заряд $Q$ может растечься по проводнику двумя способами, т. е. существуют два различных распределения заряда $Q$ на поверхности проводника. Будем обозначать эти распределения $P_{1}$ и $P_{2}$. Очевидно, что если этому же проводнику (незаряженному) сообщить отрицательный заряд $-Q$, то среди его равновесных распределений по поверхности проводника будут распределения $P_{1}^{ \prime }$ и $P_{2}^{ \prime}$, которые отличаются от $P_{1}$ и $P_{2}$ лишь тем, что знаки соответствующих зарядов в данном месте поверхности изменены на противоположные. Действительно, силами взаимодействия в конфигурации $P_{1} (P_{2})$ являются силы взаимного отталкивания зарядов, «сидящих» на поверхности. Изменение знаков всех зарядов оставляет эти силы неизменными, поэтому каждый элементарный поверхностный заряд будет в равновесии; при этом электрическое поле в каждой точке пространсгва вне проводника лишь изменит направление на противоположное. Таким образом, конфигурация $P_{1}^{ \prime } ( P_{2}^{ \prime} )$ также будет равновесной.
Рассмотрим далее такую ситуацию. Сообщенный проводнику заряд $Q$ принял распределение $P_{1}$. «Заморозив» это распределение, поместим на проводник заряд $- Q$ так, чтобы он принял распределение $P_{2}^{ \prime}$. Если теперь суммарный заряд проводника (равный нулю) предоставить самому себе, то согласно принципу суперпозиции, система будет находиться в равновесии и никакого перетекания заряда по поверхности проводника не произойдет. Итак, общий заряд проводника оказался равным нулю; при этом на поверхности проводника обязательно найдутся разноименно заряженные области: $A_{1}$, заряженная положительно, и $B_{1}$, заряженная отрицательно. Рассмотрим силовую линию, выходящую из области $A_{1}$. Поскольку проводник уединенный, то эта силовая линия либо кончается на нем, либо уходит на бесконечность. В первом случае точки начала и конца силовой линии (принадлежащие проводнику) должны иметь разные потенциалы (почему?), чего не может быть. Остается второй случай. Аналогично рассмотрев одну из силовых линий, приходящих к проводнику в области $B_{1}$, мы придем к выводу, что она пришла из бесконечности. Мы считаем, что бесконечность имеет фиксированный потенциал; но тогда потенциал области $A_{1}$ выше потенциала бесконечности, а потенциал бесконечности выше потенциала области $B_{1}$, т. е. различные области проводника имеют разные потен^ циалы. Но это противоречит условию равновесия зарядов на поверхности проводника.
Итак, предположение о возможности двух различных равновесных распределений заряда было неверным. Заряд на проводнике может распределиться единственным образом. Если в конкретной задаче нам удалось угадать рав-j новесное расположение зарядов, то это и будет ответ.
Теперь рассмотрим решение задачи.
Два соприкасающихся проводника А и В представляют собой уединенный проводник (А+В). Заряд, сообщенный этому проводнику, $Q$. Рассмотрим малый элемент $\Delta s$ поверхности проводника, на котором в результате равновесного распределения заряда $Q$ по поверхности проводника (А+В) установилась плотность заряда $\sigma$. Если бы проводнику (А+В) (незаряженному) сообщили заряд $Q^{ \prime}$, то установившаяся плотность заряда $\sigma^{ \prime}$ на $\Delta s$ удовлетворяла бы| следующему соотношению:
$\frac{ \sigma^{ \prime} }{ \sigma} = \frac{Q^{ \prime} }{Q}$.
Действительно, сила, действующая на заряженный элемент $\Delta s$ поверхности проводника (А+В) со стороны других заряженных областей поверхности, определяется как сумма сил взаимодействия данного элемента поверхности со всеми остальными. Поскольку пространственное расположение проводников осталось неизменным (это важный момент), взаимные расстояния между элементарными зарядами (зарядами отдельных элементов поверхности (A+B)) также остались неизменными, а изменились лишь величины ca.vinxl взаимодействующих зарядов. Поэтому каждая из сил попарного] взаимодействия элементарных зарядов изменилась в одно и то же число раз - в $(Q^{ \prime} /Q)^{2}$ раз. Таким образом, каждая элементарная область поверхности по-прежнему будет находиться в равновесии.)
Из приведенных рассуждений следует, что какой бы заряд ни сообщался контактирующим проводникам А и В (проводнику (А+В)), отношение заряда $q_{A}$, распределившегося на проводнике А, к заряду $q_{B}$, распределившегося на проводнике В, остается неизменным (разумеется, при неизменном расположении контактирующих проводников).
Первоначально, когда на проводнике (А+В) распределен заряд $Q$,
$\frac{q_{A} }{q_{B} } = \frac{Q - q}{q}$. (1)
При сообщении проводнику (А+В) дополнительного заряда $q_{x}$
$\frac{q_{A} }{q_{B} } = \frac{q}{Q + q_{x} - q}$. (2)
Из (1) и (2) находим $q_{x}$:
$q_{x} = Q \frac{2q - Q}{Q - q}$.
Имеются два проводника А и В произвольной формы. Первоначально на проводнике А имелся заряд $Q$, а проводник В не был заряжен. Проводники приводят в соприкосновение, и на проводник В перетекает заряд $q$. Соприкасающимся проводникам сообщили дополнительно некоторый заряд $q_{x}$, и в результате на проводнике А оказался заряд $q$. Определить заряд $q_{x}$.
Решение:
Напомним некоторые условия, которые выполняются при равновесном распределении зарядов в проводнике. Наличие практически неограниченного числа свободных носителей тока (электронов) приводит к тому, что электрическое поле в толще проводника отсутствует (иначе не прекратилось бы перетекание зарядов внутри проводника). Проводник, таким образом, образует область с постоянным потенциалом. Линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, в частности — внешней поверхности проводника. Еще одним фактом, справедливым для проводников любой формы, является то, что весь сообщенный проводнику заряд располагается на его поверхности (в противном случае внутри проводника существовало бы поле).
Теперь рассмотрим проводник, которому сообщили положительный заряд $Q$. Уместно поставить вопрос: единственным ли образом весь этот заряд сможет растечься по поверхности проводника? Ответ на этот вопрос составляет содержание так называемой теоремы единственности в электростатике.
Предположим, что заряд $Q$ может растечься по проводнику двумя способами, т. е. существуют два различных распределения заряда $Q$ на поверхности проводника. Будем обозначать эти распределения $P_{1}$ и $P_{2}$. Очевидно, что если этому же проводнику (незаряженному) сообщить отрицательный заряд $-Q$, то среди его равновесных распределений по поверхности проводника будут распределения $P_{1}^{ \prime }$ и $P_{2}^{ \prime}$, которые отличаются от $P_{1}$ и $P_{2}$ лишь тем, что знаки соответствующих зарядов в данном месте поверхности изменены на противоположные. Действительно, силами взаимодействия в конфигурации $P_{1} (P_{2})$ являются силы взаимного отталкивания зарядов, «сидящих» на поверхности. Изменение знаков всех зарядов оставляет эти силы неизменными, поэтому каждый элементарный поверхностный заряд будет в равновесии; при этом электрическое поле в каждой точке пространсгва вне проводника лишь изменит направление на противоположное. Таким образом, конфигурация $P_{1}^{ \prime } ( P_{2}^{ \prime} )$ также будет равновесной.
Рассмотрим далее такую ситуацию. Сообщенный проводнику заряд $Q$ принял распределение $P_{1}$. «Заморозив» это распределение, поместим на проводник заряд $- Q$ так, чтобы он принял распределение $P_{2}^{ \prime}$. Если теперь суммарный заряд проводника (равный нулю) предоставить самому себе, то согласно принципу суперпозиции, система будет находиться в равновесии и никакого перетекания заряда по поверхности проводника не произойдет. Итак, общий заряд проводника оказался равным нулю; при этом на поверхности проводника обязательно найдутся разноименно заряженные области: $A_{1}$, заряженная положительно, и $B_{1}$, заряженная отрицательно. Рассмотрим силовую линию, выходящую из области $A_{1}$. Поскольку проводник уединенный, то эта силовая линия либо кончается на нем, либо уходит на бесконечность. В первом случае точки начала и конца силовой линии (принадлежащие проводнику) должны иметь разные потенциалы (почему?), чего не может быть. Остается второй случай. Аналогично рассмотрев одну из силовых линий, приходящих к проводнику в области $B_{1}$, мы придем к выводу, что она пришла из бесконечности. Мы считаем, что бесконечность имеет фиксированный потенциал; но тогда потенциал области $A_{1}$ выше потенциала бесконечности, а потенциал бесконечности выше потенциала области $B_{1}$, т. е. различные области проводника имеют разные потен^ циалы. Но это противоречит условию равновесия зарядов на поверхности проводника.
Итак, предположение о возможности двух различных равновесных распределений заряда было неверным. Заряд на проводнике может распределиться единственным образом. Если в конкретной задаче нам удалось угадать рав-j новесное расположение зарядов, то это и будет ответ.
Теперь рассмотрим решение задачи.
Два соприкасающихся проводника А и В представляют собой уединенный проводник (А+В). Заряд, сообщенный этому проводнику, $Q$. Рассмотрим малый элемент $\Delta s$ поверхности проводника, на котором в результате равновесного распределения заряда $Q$ по поверхности проводника (А+В) установилась плотность заряда $\sigma$. Если бы проводнику (А+В) (незаряженному) сообщили заряд $Q^{ \prime}$, то установившаяся плотность заряда $\sigma^{ \prime}$ на $\Delta s$ удовлетворяла бы| следующему соотношению:
$\frac{ \sigma^{ \prime} }{ \sigma} = \frac{Q^{ \prime} }{Q}$.
Действительно, сила, действующая на заряженный элемент $\Delta s$ поверхности проводника (А+В) со стороны других заряженных областей поверхности, определяется как сумма сил взаимодействия данного элемента поверхности со всеми остальными. Поскольку пространственное расположение проводников осталось неизменным (это важный момент), взаимные расстояния между элементарными зарядами (зарядами отдельных элементов поверхности (A+B)) также остались неизменными, а изменились лишь величины ca.vinxl взаимодействующих зарядов. Поэтому каждая из сил попарного] взаимодействия элементарных зарядов изменилась в одно и то же число раз - в $(Q^{ \prime} /Q)^{2}$ раз. Таким образом, каждая элементарная область поверхности по-прежнему будет находиться в равновесии.)
Из приведенных рассуждений следует, что какой бы заряд ни сообщался контактирующим проводникам А и В (проводнику (А+В)), отношение заряда $q_{A}$, распределившегося на проводнике А, к заряду $q_{B}$, распределившегося на проводнике В, остается неизменным (разумеется, при неизменном расположении контактирующих проводников).
Первоначально, когда на проводнике (А+В) распределен заряд $Q$,
$\frac{q_{A} }{q_{B} } = \frac{Q - q}{q}$. (1)
При сообщении проводнику (А+В) дополнительного заряда $q_{x}$
$\frac{q_{A} }{q_{B} } = \frac{q}{Q + q_{x} - q}$. (2)
Из (1) и (2) находим $q_{x}$:
$q_{x} = Q \frac{2q - Q}{Q - q}$.
