Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6696
2018-03-10 
Два плоских слоя толщины $d$ каждый равномерно заряжены объемным зарядом с плотностями $- \rho$ и $+ \rho$. Частица с отрицательным зарядом $- e$ ей массой $m$ подлетает к положительно заряженному слою со скоростью $v$, направленной под углом $\alpha$ к поверхности слоя (рис.). Определить:
а) при какой скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой?
б) через сколько времени и на каком расстоянии от точки А частица в этом случае покинет положительно заряженный слой?
Решение:
Выберем систему координат ху, как показано на рис. Сразу же можно отметить, что движение частицы вдоль оси у будет равномерным со скоростью $v \cos \alpha$ (действием силы тяжести мы пренебрегаем). Сила, действующая на частицу со стороны заряженных слоев, направлена вдоль оси х и в точке с координатой х определяется зарядами, находящимися в заштрихованных на рисунке областях (симметричных относительно плоскости раздела слоев). Действительно, действие незаштрихованных областей с разноименными зарядами компенсируется, поскольку область объемного заряда можно представить себе как набор плоскостей с поверхностным зарядом, а поле, создаваемое заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. По той же причине можно считать, что поле в точке с координатой х определяется заряженными плоскостями с поверхностной плотностью заряда $- \rho x$ и $+ \rho x$ расположенными слева и справа от этой точки. Напряженность такого поля равна
$E = 2 \frac{ \rho x}{ 2 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho x}{ \epsilon_{0} }$.
Значит, сила, действующая на частицу в тот момент, когда она находится в точке с координатой х.
$F_{x} = - e \frac{ \rho x}{ \epsilon_{0} }$,
и уравнение движения частицы в направлении оси х
$\ddot{x} = - \frac{e \rho}{m \epsilon_{0} } x$
— это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ e \rho/ m \epsilon_{0}}$. Понятно, что частица не проникнет в область отрицательного заряда, если амплитуда этих колебаний будет меньше $d$. Предельная скорость $v_{пр}$ частицы, при которой выполняется это условие, определяется равенством
$v_{пp} \sin \alpha = \omega_{0} d = d \sqrt{ \frac{e \rho}{ m \epsilon_{0} } }$,
отсюда
$v_{пр} = \frac{d}{ \sin \alpha } \sqrt{ \frac{e \rho}{m \epsilon_{0} } }$.
При скоростях $v < v_{пp}$ частица проникает в положительно заряженный слой на некоторую глубину, а затем «выталкивается» из него. Частица проводит внутри слоя время $t$, равное половине периода колебаний с частотой $\omega$, т. е.
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m \epsilon}{e \rho} }$.
За это время частица смещается по вертикали на расстояние
$y = tv \cos \alpha = \pi v \sqrt{ \frac{m \epsilon}{e \rho} } \cos \alpha$.
На таком расстоянии от точки А частица вылетит из положительно заряженного слоя.
Два плоских слоя толщины $d$ каждый равномерно заряжены объемным зарядом с плотностями $- \rho$ и $+ \rho$. Частица с отрицательным зарядом $- e$ ей массой $m$ подлетает к положительно заряженному слою со скоростью $v$, направленной под углом $\alpha$ к поверхности слоя (рис.). Определить:
а) при какой скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой?
б) через сколько времени и на каком расстоянии от точки А частица в этом случае покинет положительно заряженный слой?
Решение:
Выберем систему координат ху, как показано на рис. Сразу же можно отметить, что движение частицы вдоль оси у будет равномерным со скоростью $v \cos \alpha$ (действием силы тяжести мы пренебрегаем). Сила, действующая на частицу со стороны заряженных слоев, направлена вдоль оси х и в точке с координатой х определяется зарядами, находящимися в заштрихованных на рисунке областях (симметричных относительно плоскости раздела слоев). Действительно, действие незаштрихованных областей с разноименными зарядами компенсируется, поскольку область объемного заряда можно представить себе как набор плоскостей с поверхностным зарядом, а поле, создаваемое заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. По той же причине можно считать, что поле в точке с координатой х определяется заряженными плоскостями с поверхностной плотностью заряда $- \rho x$ и $+ \rho x$ расположенными слева и справа от этой точки. Напряженность такого поля равна
$E = 2 \frac{ \rho x}{ 2 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho x}{ \epsilon_{0} }$.
Значит, сила, действующая на частицу в тот момент, когда она находится в точке с координатой х.
$F_{x} = - e \frac{ \rho x}{ \epsilon_{0} }$,
и уравнение движения частицы в направлении оси х
$\ddot{x} = - \frac{e \rho}{m \epsilon_{0} } x$
— это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_{0} = \sqrt{ e \rho/ m \epsilon_{0}}$. Понятно, что частица не проникнет в область отрицательного заряда, если амплитуда этих колебаний будет меньше $d$. Предельная скорость $v_{пр}$ частицы, при которой выполняется это условие, определяется равенством
$v_{пp} \sin \alpha = \omega_{0} d = d \sqrt{ \frac{e \rho}{ m \epsilon_{0} } }$,
отсюда
$v_{пр} = \frac{d}{ \sin \alpha } \sqrt{ \frac{e \rho}{m \epsilon_{0} } }$.
При скоростях $v < v_{пp}$ частица проникает в положительно заряженный слой на некоторую глубину, а затем «выталкивается» из него. Частица проводит внутри слоя время $t$, равное половине периода колебаний с частотой $\omega$, т. е.
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m \epsilon}{e \rho} }$.
За это время частица смещается по вертикали на расстояние
$y = tv \cos \alpha = \pi v \sqrt{ \frac{m \epsilon}{e \rho} } \cos \alpha$.
На таком расстоянии от точки А частица вылетит из положительно заряженного слоя.
