Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6691
2018-03-10 
Из бесконечной квадратной сетки с сопротивлением каждого ребра $r$ удалили часть проводников — так, как показано на рис. (тонкие линии). Найти сопротивление $r_{AB}$ между точками А и В, В и С, А и С.
Решение:
Перерисуем схему так, как изображено на рис. а.
Подключим к точкам A и В схемы (рис. б) два одинаковых источника тока с эдс $\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E}$ через два одинаковых резистора с сопротивлением $R \gg r$ (внутренним сопротивлением источников пренебрежем). Положим $r = 1 Ом$ и подберем значения $\mathcal{E}$ и $R$ так, чтобы $\mathcal{E}/R = 1 А$.
Рассмотрим сначала подключение лишь одного источника к точке А и получим следующую схему разветвления втекающего в узел А тока $I_{1} = \mathcal{E}/(R + r_{AB}) \approx 1 А$ (рис. в). Оставляя затем только источник с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, получим ситуацию, когда из узла В вытекает ток $I_{2} = \mathcal{E}/(R + r_{AB}) \approx 1 А$ (рис. г). Этот ток стекается из трех ближайших к В узлов и через источник уходит на «бесконечность». Теперь подключим к точкам А и В оба источника, тогда из принципа суперпозиции и из условия $R \gg r$ получим, что по проводнику АВ будет протекать ток $I = (I_{1} + I_{2})/3$ и напряжение на проводнике будет
$U_{AB} = \frac{2}{3} А \cdot 1 Ом = \frac{2}{3} В$.
С другой стороны, на схему подано общее напряжение $2 \mathcal{E}$ и в нее втекает ток $I \approx 2 \mathcal{E}/(2R) = 1 A$. Следовательно,
$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{2}{3} Ом$.
Случай, когда внешнее напряжение прикладывается к точкам A и С, совершенно аналогичен предыдущему:
$R_{AC} = \frac{2}{3} Ом$.
Нам осталось найти сопротивление между точками В и С. Подключение только одного источника приводит к тому, что по ребру АВ будет течь ток $I/3$, а по ребру АС - ток $I/6$. Подключим затем к узлу второй источник н из соображений симметрии и принципа суперпозиции получим
$U_{BC} = 1 Ом \left ( \frac{1}{3} А + \frac{1}{6} А \right ) + 1 Ом \left ( \frac{1}{3} А + \frac{1}{6} А \right ) = 1 В$
и
$R_{BC} = \frac{U_{AC}}{I} = 1 Ом$.
Из бесконечной квадратной сетки с сопротивлением каждого ребра $r$ удалили часть проводников — так, как показано на рис. (тонкие линии). Найти сопротивление $r_{AB}$ между точками А и В, В и С, А и С.
Решение:
Перерисуем схему так, как изображено на рис. а.
Подключим к точкам A и В схемы (рис. б) два одинаковых источника тока с эдс $\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E}$ через два одинаковых резистора с сопротивлением $R \gg r$ (внутренним сопротивлением источников пренебрежем). Положим $r = 1 Ом$ и подберем значения $\mathcal{E}$ и $R$ так, чтобы $\mathcal{E}/R = 1 А$.
Рассмотрим сначала подключение лишь одного источника к точке А и получим следующую схему разветвления втекающего в узел А тока $I_{1} = \mathcal{E}/(R + r_{AB}) \approx 1 А$ (рис. в). Оставляя затем только источник с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, получим ситуацию, когда из узла В вытекает ток $I_{2} = \mathcal{E}/(R + r_{AB}) \approx 1 А$ (рис. г). Этот ток стекается из трех ближайших к В узлов и через источник уходит на «бесконечность». Теперь подключим к точкам А и В оба источника, тогда из принципа суперпозиции и из условия $R \gg r$ получим, что по проводнику АВ будет протекать ток $I = (I_{1} + I_{2})/3$ и напряжение на проводнике будет
$U_{AB} = \frac{2}{3} А \cdot 1 Ом = \frac{2}{3} В$.
С другой стороны, на схему подано общее напряжение $2 \mathcal{E}$ и в нее втекает ток $I \approx 2 \mathcal{E}/(2R) = 1 A$. Следовательно,
$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{2}{3} Ом$.
Случай, когда внешнее напряжение прикладывается к точкам A и С, совершенно аналогичен предыдущему:
$R_{AC} = \frac{2}{3} Ом$.
Нам осталось найти сопротивление между точками В и С. Подключение только одного источника приводит к тому, что по ребру АВ будет течь ток $I/3$, а по ребру АС - ток $I/6$. Подключим затем к узлу второй источник н из соображений симметрии и принципа суперпозиции получим
$U_{BC} = 1 Ом \left ( \frac{1}{3} А + \frac{1}{6} А \right ) + 1 Ом \left ( \frac{1}{3} А + \frac{1}{6} А \right ) = 1 В$
и
$R_{BC} = \frac{U_{AC}}{I} = 1 Ом$.
