Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6689
2018-03-10 
Между Ленинградом и Москвой протянута двухпроводная телефонная линия. Сопротивление одного метра проволоки равно $r = 0,05 Ом$. Из-за несовершенства изоляции сопротивление между проводами составляет $R = 10^{7} Ом$ на каждый метр линии. К концам линии в Москве подключают источник с напряжением $U = 100 В$. Что покажет вольтметр, если его подключить: а) к концам линии в Ленинграде; б) в середине линий?
Решение:
Причем расстояние между Москвой и Ленинградом равным $6 \cdot 10^{5} м$. Разобьем линию на множество звеньев; каждое звено представим в виде эквивалентной схемы из трех резисторов (рис.). Если одно звено соответствует 1 м длины линии, то последовательные резисторы имеют сопротивление $r = 0,05 Ом$, а параллельный - $R = 10^{7} Ом$. Ясно, что два резистора, подключенные последовательно, можно заменить одним, сопротивление которого равно $2r = 0,1 Ом$.
Число звеньев такой цепочки очень велико. Будем считать эту цепочку бесконечной, а потом, получив решение, обсудим правомерность такого приближения.
Найдем вначале сопротивление $R_{общ}$ такой цепи. Для этого добавим еще одно звено впереди цепочки и потребуем, чтобы полное сопротивление такой удлиненной цепи опять составило $R_{общ}$:
$\frac{RR_{общ} }{ R+ R_{общ} } + 2r = R_{общ}$.
Отсюда находим $R_{общ}$:
$R_{обш} = r + \sqrt{ r^{2} + 2rR } = 0,05 + \sqrt{(0,05)^{2} + 10^{6}} \approx 10^{3} Ом$.
Если ко входным зажимам схемы на рис. подключить напряжение $U$, то после подключения добавочного звена напряжение уменьшится на величину
$\Delta U = 2rI = 2r \frac{U}{R_{общ} }$.
Это означает, что после одной ячейки напряжение станет меньше в $k = \frac{U}{ U - \Delta U } = \frac{1}{ 1- 2r/R_{общ} } \approx 1,0001$ раз и каждая следующая ячейка уменьшает напряжение во столько же раз. Значит, напряжение после n-й ячейки на оставшейся части цепи будет
$U_{n} = \frac{U}{k^{n} }$.
При нашем способе разбиения число ячеек равно $N = \frac{6 \cdot 10^{5} м }{ 1 м} = 6 \cdot 10^{5}$, значит, напряжение на конце линии составит
$U_{N} = \frac{U}{k^{N} } = \frac{100}{(1 + 0,0001)^{ 6 \cdot 10^{5}}} , В$.
Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе;
$(1 + 0,0001 )^{6 \cdot 10^{5}} = [(1 + 0,0001)^{10000}]^{60} \approx e^{60} \approx 1,14 \cdot 10^{26}$.
(выражение в квадратных скобках—это приближенное значение числа $e = 2,718$ - основания натуральных логарифмов $e = lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{1/x}$.
Итак, напряжение на конце линии составляет
$U_{N} \approx \frac{100}{ 1,14 \cdot 10^{26} } \approx 10^{-24} В$.
Такую величину просто невозможно измерить, вольтметр покажет 0.
Напряжение посередине линии -
$U_{N/2} = \frac{100}{e^{30} } В \approx 10^{-11} В$.
Что изменится, если разбить линию на ячейки «длиной» не 1 м, а 1 см или 1 км (или 100 км)? В нашем случае «умельчение» ячеек, конечно, допустимо, но явно не имеет смысла; а вот увеличивать их размеры нужно осторожно — на длине линии 10 км (10000 ячеек по 1 м) напряжение падает в $e$ раз, и ясно, что «длина» ячейки должна быть, во всяком случае, во много раз меньше, чем 10 км.
Считая цепь бесконечной, мы как бы добавили к концу ее еще очень много ячеек. Ясно, что расчет $R_{общ}$ был вполне корректным (напряжение на конце цепи во много раз меньше входного, и при подключении дополнительных резисторов /?0бщ практически не меняется). А вот напряжение на выходе мы оцепили не очень точно. Подумайте сами, каким должно быть сопротивление вольтметра, чтобы наш способ решения давал точный результат.
Между Ленинградом и Москвой протянута двухпроводная телефонная линия. Сопротивление одного метра проволоки равно $r = 0,05 Ом$. Из-за несовершенства изоляции сопротивление между проводами составляет $R = 10^{7} Ом$ на каждый метр линии. К концам линии в Москве подключают источник с напряжением $U = 100 В$. Что покажет вольтметр, если его подключить: а) к концам линии в Ленинграде; б) в середине линий?
Решение:
Причем расстояние между Москвой и Ленинградом равным $6 \cdot 10^{5} м$. Разобьем линию на множество звеньев; каждое звено представим в виде эквивалентной схемы из трех резисторов (рис.). Если одно звено соответствует 1 м длины линии, то последовательные резисторы имеют сопротивление $r = 0,05 Ом$, а параллельный - $R = 10^{7} Ом$. Ясно, что два резистора, подключенные последовательно, можно заменить одним, сопротивление которого равно $2r = 0,1 Ом$.
Число звеньев такой цепочки очень велико. Будем считать эту цепочку бесконечной, а потом, получив решение, обсудим правомерность такого приближения.
Найдем вначале сопротивление $R_{общ}$ такой цепи. Для этого добавим еще одно звено впереди цепочки и потребуем, чтобы полное сопротивление такой удлиненной цепи опять составило $R_{общ}$:
$\frac{RR_{общ} }{ R+ R_{общ} } + 2r = R_{общ}$.
Отсюда находим $R_{общ}$:
$R_{обш} = r + \sqrt{ r^{2} + 2rR } = 0,05 + \sqrt{(0,05)^{2} + 10^{6}} \approx 10^{3} Ом$.
Если ко входным зажимам схемы на рис. подключить напряжение $U$, то после подключения добавочного звена напряжение уменьшится на величину
$\Delta U = 2rI = 2r \frac{U}{R_{общ} }$.
Это означает, что после одной ячейки напряжение станет меньше в $k = \frac{U}{ U - \Delta U } = \frac{1}{ 1- 2r/R_{общ} } \approx 1,0001$ раз и каждая следующая ячейка уменьшает напряжение во столько же раз. Значит, напряжение после n-й ячейки на оставшейся части цепи будет
$U_{n} = \frac{U}{k^{n} }$.
При нашем способе разбиения число ячеек равно $N = \frac{6 \cdot 10^{5} м }{ 1 м} = 6 \cdot 10^{5}$, значит, напряжение на конце линии составит
$U_{N} = \frac{U}{k^{N} } = \frac{100}{(1 + 0,0001)^{ 6 \cdot 10^{5}}} , В$.
Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе;
$(1 + 0,0001 )^{6 \cdot 10^{5}} = [(1 + 0,0001)^{10000}]^{60} \approx e^{60} \approx 1,14 \cdot 10^{26}$.
(выражение в квадратных скобках—это приближенное значение числа $e = 2,718$ - основания натуральных логарифмов $e = lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{1/x}$.
Итак, напряжение на конце линии составляет
$U_{N} \approx \frac{100}{ 1,14 \cdot 10^{26} } \approx 10^{-24} В$.
Такую величину просто невозможно измерить, вольтметр покажет 0.
Напряжение посередине линии -
$U_{N/2} = \frac{100}{e^{30} } В \approx 10^{-11} В$.
Что изменится, если разбить линию на ячейки «длиной» не 1 м, а 1 см или 1 км (или 100 км)? В нашем случае «умельчение» ячеек, конечно, допустимо, но явно не имеет смысла; а вот увеличивать их размеры нужно осторожно — на длине линии 10 км (10000 ячеек по 1 м) напряжение падает в $e$ раз, и ясно, что «длина» ячейки должна быть, во всяком случае, во много раз меньше, чем 10 км.
Считая цепь бесконечной, мы как бы добавили к концу ее еще очень много ячеек. Ясно, что расчет $R_{общ}$ был вполне корректным (напряжение на конце цепи во много раз меньше входного, и при подключении дополнительных резисторов /?0бщ практически не меняется). А вот напряжение на выходе мы оцепили не очень точно. Подумайте сами, каким должно быть сопротивление вольтметра, чтобы наш способ решения давал точный результат.
