Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6677
2018-03-10 
На проводящие рельсы игрушечной железной дороги беспорядочно бросают, замыкая рельсы, тонкие длинные оголенные проводники из меди. Оценить сопротивление между рельсами, если расстояние между ними $l = 5 см$, диаметр каждого проводника $d = 0,2 мм$, его длина $h = 30 см$, бросили $N = 100$ проводников.
Решение:
Будем считать, что все брошенные проводники попадают на рельсы. Ясно, что замыкания проводников между собой ие влияют на результат—соответствующие точки проводников имеют одинаковые потенциалы. Если проводник составляет угол $\alpha$ с рельсами, то его «вклад» в общее сопротивление
$r = \rho \frac{l / \sin \alpha}{ \pi d^{2}/4 }$.
Для полного сопротивления $R_{обш}$ между рельсами можно записать
$\frac{1}{R_{общ} } = \sum \frac{1}{r_{i} } = \sum_{1}^{N} \frac{ \pi d^{2} / 4 \cdot \sin \alpha_{i} }{ \rho l} = \frac{ \pi d^{2} }{4 \rho l} \sum_{i}^{N} \sin \alpha_{i} = \frac{ \pi d^{2} }{4 \rho l} N ( \bar{ \sin \alpha_{i}} )$
Среднее значение синуса (угол в пределах $0 \cdots \pi$) можно найти так:
($ \bar{ \sin \alpha_{i}} ) = \frac{1}{ \pi } \int_{0}^{ \pi} \sin \alpha d \alpha = \frac{2}{ \pi}$,
тогда
$R_{общ} = \frac{2 \rho l }{Nd^{2} } \approx 4 \cdot 10^{-4} Ом$.
Мы подсчитали ожидаемое («среднее») значение $R_{общ}$, однако сопротивление может несколько отличаться от.него—в зависимости от того, как «лягут» проводники на рельсы. Оценить возможный разброс можно при помощи стандартных формул для учета ошибок при усреднении независимых результатов измерений. Интересно промоделировать «бросание проводников» на персональной ЭВМ (при помощи датчика случайных чисел выбирается очередной угол $\alpha_{i}$ - распределение углов равномерное) и посмотреть на разброс результатов.
На проводящие рельсы игрушечной железной дороги беспорядочно бросают, замыкая рельсы, тонкие длинные оголенные проводники из меди. Оценить сопротивление между рельсами, если расстояние между ними $l = 5 см$, диаметр каждого проводника $d = 0,2 мм$, его длина $h = 30 см$, бросили $N = 100$ проводников.
Решение:
Будем считать, что все брошенные проводники попадают на рельсы. Ясно, что замыкания проводников между собой ие влияют на результат—соответствующие точки проводников имеют одинаковые потенциалы. Если проводник составляет угол $\alpha$ с рельсами, то его «вклад» в общее сопротивление
$r = \rho \frac{l / \sin \alpha}{ \pi d^{2}/4 }$.
Для полного сопротивления $R_{обш}$ между рельсами можно записать
$\frac{1}{R_{общ} } = \sum \frac{1}{r_{i} } = \sum_{1}^{N} \frac{ \pi d^{2} / 4 \cdot \sin \alpha_{i} }{ \rho l} = \frac{ \pi d^{2} }{4 \rho l} \sum_{i}^{N} \sin \alpha_{i} = \frac{ \pi d^{2} }{4 \rho l} N ( \bar{ \sin \alpha_{i}} )$
Среднее значение синуса (угол в пределах $0 \cdots \pi$) можно найти так:
($ \bar{ \sin \alpha_{i}} ) = \frac{1}{ \pi } \int_{0}^{ \pi} \sin \alpha d \alpha = \frac{2}{ \pi}$,
тогда
$R_{общ} = \frac{2 \rho l }{Nd^{2} } \approx 4 \cdot 10^{-4} Ом$.
Мы подсчитали ожидаемое («среднее») значение $R_{общ}$, однако сопротивление может несколько отличаться от.него—в зависимости от того, как «лягут» проводники на рельсы. Оценить возможный разброс можно при помощи стандартных формул для учета ошибок при усреднении независимых результатов измерений. Интересно промоделировать «бросание проводников» на персональной ЭВМ (при помощи датчика случайных чисел выбирается очередной угол $\alpha_{i}$ - распределение углов равномерное) и посмотреть на разброс результатов.
