Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 667
2014-06-01 
Два небольших одинаковых шарика, лежащие на горизонтальной плоскости, соединены невесомой пружиной. Один из шариков закреплен в точке О, другой свободен. Каждый из шариков одинаково зарядили, в результате чего пружина растянулась в два раза.
Определите, во сколько раз изменилась частота гармонических колебаний системы.
Решение:
Из равенства электрической и упругой сил. действующих на незакрепленный шарик,
$q^{2}/(4 \pi \varepsilon_{0} \cdot 4l^{2}) = kl$,
получается следующее соотношение для длины нерастянутой пружины $l$:
$l^{3}=q^{2}/(16 \pi \varepsilon_{0} k)$,
где $k$ - жесткость пружины, $q$ - заряды шариков.
Пусть незакрепленный шарик отклонили на малое по сравнению с $l$ расстояние $x$ относительно положения равновесия. Потенциальная энергия системы следующим образом зависит от $x$:
$W(x)= \frac{1}{2} k(l-x)^{2} + \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2l - x)} \approx \frac{5}{2} kl^{2} + kx^{2}$.
Здесь мы учли соотношение между $q_{1},k$ и $l$, полученное ранее, и в выражении
$\frac{1}{2l-x}= \frac{1}{2l(1-x/2l)} = \frac{1}{2l} \left ( 1 + \left ( \frac{x}{2l} \right ) +\left ( \frac{x}{2l} \right )^{2} + \cdots \right )$
оставили слагаемые с точностью до $[x/(2l)]^{2}$. Таким образом, растянутая пружина обладает как бы вдвое большей жесткостью, и отношение частот гармонических колебаний системы равно
$\nu_{1}/\nu_{2} = \sqrt{2k}/\sqrt{k}=\sqrt{2}$.
Два небольших одинаковых шарика, лежащие на горизонтальной плоскости, соединены невесомой пружиной. Один из шариков закреплен в точке О, другой свободен. Каждый из шариков одинаково зарядили, в результате чего пружина растянулась в два раза.
Определите, во сколько раз изменилась частота гармонических колебаний системы.
Решение:
Из равенства электрической и упругой сил. действующих на незакрепленный шарик,
$q^{2}/(4 \pi \varepsilon_{0} \cdot 4l^{2}) = kl$,
получается следующее соотношение для длины нерастянутой пружины $l$:
$l^{3}=q^{2}/(16 \pi \varepsilon_{0} k)$,
где $k$ - жесткость пружины, $q$ - заряды шариков.
Пусть незакрепленный шарик отклонили на малое по сравнению с $l$ расстояние $x$ относительно положения равновесия. Потенциальная энергия системы следующим образом зависит от $x$:
$W(x)= \frac{1}{2} k(l-x)^{2} + \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2l - x)} \approx \frac{5}{2} kl^{2} + kx^{2}$.
Здесь мы учли соотношение между $q_{1},k$ и $l$, полученное ранее, и в выражении
$\frac{1}{2l-x}= \frac{1}{2l(1-x/2l)} = \frac{1}{2l} \left ( 1 + \left ( \frac{x}{2l} \right ) +\left ( \frac{x}{2l} \right )^{2} + \cdots \right )$
оставили слагаемые с точностью до $[x/(2l)]^{2}$. Таким образом, растянутая пружина обладает как бы вдвое большей жесткостью, и отношение частот гармонических колебаний системы равно
$\nu_{1}/\nu_{2} = \sqrt{2k}/\sqrt{k}=\sqrt{2}$.
