Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6653
2018-03-10 
Для исследования свойств нелинейного резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до $t_{1} = 100^{ \circ} С$ мгновенно происходил скачок сопротивления от $R_{1} = 50 Ом$ до $R_{2} = 100 Ом$, при охлаждении обратный скачок происходил при температуре $t_{2} = 99^{ \circ} С$ (рис.).
Во втором опыте к резистору приложили постоянное напряжение $U_{1} = 60 В$, при этом его температура оказалась равной $t_{3} = 80^{ \circ} С$.
Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение ($U_{2} = 80 В$, в цепи возникли самопроизвольные колебания тока. Определите период этих колебаний $T$, а также максимальное и минимальное значения тока. Температура воздуха в лаборатории постоянна и равна $t_{0} = 20^{ \circ} С$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха, теплоемкость резистора $C = 3 Дж/К$.
Решение:
Обозначим коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающего воздуха $\alpha$. Тогда, поскольку при $T_{3} = 80^{ \circ} С$ сопротивление резистора равно $R_{1}$, а напряжение на нем $U_{1}$, рассеиваемая мощность равна $\frac{U_{1}^{2} }{R_{1} }$, и мы можем записать
$\frac{U_{1}^{2} }{R_{1} } = \alpha (T_{3} - T_{0} )$. (1)
При повышении приложенного напряжения температура резистора растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении тока мощность. Когда температура достигнет значения $T_{1} = 100^{ \circ} С$ сопротивление резистора скачком увеличится в два раза. Выделяемая на нем мощность уменьшится, и, если напряжение не очень велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем ее выделение. Это приведет к падению температуры до $T_{2} = 99^{ \circ} С$, но тогда сопротивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс начнет повторяться. Таким образом, в цепи возникнут колебания тока, связанные со скачкообразной зависимостью сопротивления резистора от температуры.
Температура резистора во время этих колебаний почти постоянна (она изменяется в пределах от $T_{2} = 99^{ \circ} С$ до $T_{1} = 100^{ \circ} С$), так что можно считать теплоотвод постоянным, и отводимая мощность составляет $\alpha (T_{1} - T_{0})$. Тогда, вводя $\tau_{1}$ - время нагрева (от 99 до $100^{ \circ} С$), $\tau_{2}$ - время охлаждения и $\tau_{1} + \tau_{2} = T$ - период колебаний, можно написать уравнения теплового баланса:
$U_{2}^{2} \tau_{1} / R_{1} = \alpha (T_{1} - T_{0}) \tau_{1} + C (T_{1} - T_{2})$, (2)
$U_{2}^{2} \tau_{2} / R_{2} = \alpha (T_{1} - T_{0}) \tau_{2} - C (T_{1} - T_{2})$.
Используя найденное из (1) значение $\alpha$, находим
$\tau_{1} = \frac{C(T_{1} - T_{2} ) }{ U_{2}^{2} /R - U_{1}^{2} (T_{1} - T_{0} ) / [R_{1} (T_{3} - T_{0} ) ] }$,
$\tau_{2} = \frac{C(T_{1} - T_{2} ) }{ U_{1}^{2} (T_{1} - T_{0} )/ [R_{1} (T_{3} - T_{0} ) ] - U_{2}^{2} / R_{2} }$.
Подставляя числовые значения, получаем
$\tau_{1} = \tau_{2} = 3/32 с \approx 0,1 с, T \approx 0,2 с$.
Максимальное и минимальное значения тока легко находим, так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется от $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; следовательно,
$I_{max} = U_{2}/R_{1} = 1,6 A, I_{min} = U_{2}/R_{2} = 0,8 A$.
Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая в задаче ситуация отвечает фазовому переходу 1-го рода в материале, из которого сделан резистор. При нагревании при температуре $T_{1} = 100^{ \circ} С$ происходит переход материала в новую фазу (этот переход, например, может быть связан с перестройкой кристаллической решетки материала резистора). Обратный переход происходит при более низкой температуре $T_{2} = 99^{ \circ} С$ - это явление так называемого гистерезиса, свойственного фазовым переходам 1-го рода.
Для исследования свойств нелинейного резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до $t_{1} = 100^{ \circ} С$ мгновенно происходил скачок сопротивления от $R_{1} = 50 Ом$ до $R_{2} = 100 Ом$, при охлаждении обратный скачок происходил при температуре $t_{2} = 99^{ \circ} С$ (рис.).
Во втором опыте к резистору приложили постоянное напряжение $U_{1} = 60 В$, при этом его температура оказалась равной $t_{3} = 80^{ \circ} С$.
Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение ($U_{2} = 80 В$, в цепи возникли самопроизвольные колебания тока. Определите период этих колебаний $T$, а также максимальное и минимальное значения тока. Температура воздуха в лаборатории постоянна и равна $t_{0} = 20^{ \circ} С$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха, теплоемкость резистора $C = 3 Дж/К$.
Решение:
Обозначим коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающего воздуха $\alpha$. Тогда, поскольку при $T_{3} = 80^{ \circ} С$ сопротивление резистора равно $R_{1}$, а напряжение на нем $U_{1}$, рассеиваемая мощность равна $\frac{U_{1}^{2} }{R_{1} }$, и мы можем записать
$\frac{U_{1}^{2} }{R_{1} } = \alpha (T_{3} - T_{0} )$. (1)
При повышении приложенного напряжения температура резистора растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении тока мощность. Когда температура достигнет значения $T_{1} = 100^{ \circ} С$ сопротивление резистора скачком увеличится в два раза. Выделяемая на нем мощность уменьшится, и, если напряжение не очень велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем ее выделение. Это приведет к падению температуры до $T_{2} = 99^{ \circ} С$, но тогда сопротивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс начнет повторяться. Таким образом, в цепи возникнут колебания тока, связанные со скачкообразной зависимостью сопротивления резистора от температуры.
Температура резистора во время этих колебаний почти постоянна (она изменяется в пределах от $T_{2} = 99^{ \circ} С$ до $T_{1} = 100^{ \circ} С$), так что можно считать теплоотвод постоянным, и отводимая мощность составляет $\alpha (T_{1} - T_{0})$. Тогда, вводя $\tau_{1}$ - время нагрева (от 99 до $100^{ \circ} С$), $\tau_{2}$ - время охлаждения и $\tau_{1} + \tau_{2} = T$ - период колебаний, можно написать уравнения теплового баланса:
$U_{2}^{2} \tau_{1} / R_{1} = \alpha (T_{1} - T_{0}) \tau_{1} + C (T_{1} - T_{2})$, (2)
$U_{2}^{2} \tau_{2} / R_{2} = \alpha (T_{1} - T_{0}) \tau_{2} - C (T_{1} - T_{2})$.
Используя найденное из (1) значение $\alpha$, находим
$\tau_{1} = \frac{C(T_{1} - T_{2} ) }{ U_{2}^{2} /R - U_{1}^{2} (T_{1} - T_{0} ) / [R_{1} (T_{3} - T_{0} ) ] }$,
$\tau_{2} = \frac{C(T_{1} - T_{2} ) }{ U_{1}^{2} (T_{1} - T_{0} )/ [R_{1} (T_{3} - T_{0} ) ] - U_{2}^{2} / R_{2} }$.
Подставляя числовые значения, получаем
$\tau_{1} = \tau_{2} = 3/32 с \approx 0,1 с, T \approx 0,2 с$.
Максимальное и минимальное значения тока легко находим, так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется от $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; следовательно,
$I_{max} = U_{2}/R_{1} = 1,6 A, I_{min} = U_{2}/R_{2} = 0,8 A$.
Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая в задаче ситуация отвечает фазовому переходу 1-го рода в материале, из которого сделан резистор. При нагревании при температуре $T_{1} = 100^{ \circ} С$ происходит переход материала в новую фазу (этот переход, например, может быть связан с перестройкой кристаллической решетки материала резистора). Обратный переход происходит при более низкой температуре $T_{2} = 99^{ \circ} С$ - это явление так называемого гистерезиса, свойственного фазовым переходам 1-го рода.
