Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6623
2018-03-10 
Тепловой двигатель представляет собой наполненный газом цилиндр с поршнем, движение которого ограничено упорами АА и ВВ (рис.). Газ медленно нагревают, пока поршень не коснется упоров ВВ, после чего основание пружины смещают из положения СС в положение DD. Затем сосуд медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не коснется упоров АА. Тогда основание пружины смещают назад до СС, цилиндр нагревают снова и т. д. Найти КПД этого двигателя. Цилиндр заполнен гелием; площадь поршня $S = 10 см^{2}$; жесткость пружины $k = 10 Н/м$, длина ее в нерастянутом состсянии $l_{0} = 60 см$. Внешнее давление принять равным нулю. Размеры на рисунке приведены в сантиметрах.
Решение:
Нарисуем цикл на диаграмме р-V (рис.). Начнем с момента, когда газ станет расширяться. Нагрев производится очень медленно, поэтому можно считать, что поршень в любой момент находится в равновесии.
Учтем, что длина пружины в нерастянутом состоянии равна расстоянию от левой стенки сосуда до линии СС на рис., поэтому при расширении газа (при движении поршня от упоров АА до упоров ВВ) сила упругой сти пружины пропорциональна объему газа - $F_{упр} = kx = kV/S$ и, значит, давление газа -
$p_{1 \rightarrow 2} = \frac{k}{S^{2} } V$.
На этом участке объем газа увеличивается от $V_{1} = 2 \cdot 10^{-4} м^{3}$ до $V_{2} = 4 \cdot 10^{-4} м^{3}$. Давление газа возрастает от $p = \frac{kV_{1} }{S^{2} } = 2 \cdot 10^{3} Па$ до $p_{2} = \frac{k}{S^{2} } V_{2} = 4 \cdot 10^{3} Па$ (см. рис.).
После того как основание пружины сместили из СС в DD, сила упругости пружины уменьшилась. В результате при охлаждении сосуда газ начнет сжиматься не сразу, а лишь после того,1 как давление газа на поршень упадет настолько, что сила давления газа станет равной силе упругости пружины. Это произойдет при $p_{3} = \frac{10 \cdot 0,3}{10^{-3} } Па = 3 \cdot 10^{3} Па$ (см. рис.). При дальнейшем охлаждении газ будет сжиматься, и давление будет меняться по закону
$p_{3 \rightarrow 4} = \frac{k}{S^{2} } (V - V_{0})$,
где $V_{0}$ - объем, занимаемый газом в случае, когда пружина, закрепленная в положении DD, оказывается нерастянутой: $V_{0} = 0,1 \cdot 10^{-3} м^{3} = 1 \cdot 10^{-4} м^{3}$. Таким образом, $p_{4} = \frac{k }{S^{2} } (V_{1} - V_{0}) = 1 \cdot 10^{3} Па$.
После того как основание пружины переместят из положения DD в положение ВВ, сила упругости возрастет. Поэтому при последующем нагревании газ начнет расширяться лишь с того момента, когда сила давления газа станет равна силе упругости. Это произойдет при $p = p_{1} = 2 \cdot 10^{3} Па$; в дальнейшем процесс повторяется (см. рис.).
Работа газа за один цикл численно равна площади параллелограмма на рис.:
$A = 0,2 Па \cdot м^{3} = 0,2 Дж$.
Тепло газ получает на участках $1 \rightarrow 2$ и $4 \rightarrow 1$; учитывая, что газ одноатомный, находим
$Q = Q_{1} + Q_{2} = A_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{4 \rightarrow 1} = \frac{p_{1} + p_{2} }{2} (V_{2} - V_{1} ) + \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} ) + \frac{3}{2} \nu R (T_{1} - T_{4} ) = \frac{p_{1} + p_{2} }{2} (V_{2} - V_{1} ) + \frac{3}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{4} ) = 2,7 Дж$.
Таким образом, КПД этого двигателя -
$\eta = \frac{A}{Q} \cdot 100 % \approx 7,4$%.
Полезную работу в этом цикле «снимают» с двигателя при смещении основания пружины—когда газ нагрет и его давление велико, он совершает работу большую, чем работа внешних сил при обратном смещении основания пружины.
Тепловой двигатель представляет собой наполненный газом цилиндр с поршнем, движение которого ограничено упорами АА и ВВ (рис.). Газ медленно нагревают, пока поршень не коснется упоров ВВ, после чего основание пружины смещают из положения СС в положение DD. Затем сосуд медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не коснется упоров АА. Тогда основание пружины смещают назад до СС, цилиндр нагревают снова и т. д. Найти КПД этого двигателя. Цилиндр заполнен гелием; площадь поршня $S = 10 см^{2}$; жесткость пружины $k = 10 Н/м$, длина ее в нерастянутом состсянии $l_{0} = 60 см$. Внешнее давление принять равным нулю. Размеры на рисунке приведены в сантиметрах.
Решение:
Нарисуем цикл на диаграмме р-V (рис.). Начнем с момента, когда газ станет расширяться. Нагрев производится очень медленно, поэтому можно считать, что поршень в любой момент находится в равновесии.
Учтем, что длина пружины в нерастянутом состоянии равна расстоянию от левой стенки сосуда до линии СС на рис., поэтому при расширении газа (при движении поршня от упоров АА до упоров ВВ) сила упругой сти пружины пропорциональна объему газа - $F_{упр} = kx = kV/S$ и, значит, давление газа -
$p_{1 \rightarrow 2} = \frac{k}{S^{2} } V$.
На этом участке объем газа увеличивается от $V_{1} = 2 \cdot 10^{-4} м^{3}$ до $V_{2} = 4 \cdot 10^{-4} м^{3}$. Давление газа возрастает от $p = \frac{kV_{1} }{S^{2} } = 2 \cdot 10^{3} Па$ до $p_{2} = \frac{k}{S^{2} } V_{2} = 4 \cdot 10^{3} Па$ (см. рис.).
После того как основание пружины сместили из СС в DD, сила упругости пружины уменьшилась. В результате при охлаждении сосуда газ начнет сжиматься не сразу, а лишь после того,1 как давление газа на поршень упадет настолько, что сила давления газа станет равной силе упругости пружины. Это произойдет при $p_{3} = \frac{10 \cdot 0,3}{10^{-3} } Па = 3 \cdot 10^{3} Па$ (см. рис.). При дальнейшем охлаждении газ будет сжиматься, и давление будет меняться по закону
$p_{3 \rightarrow 4} = \frac{k}{S^{2} } (V - V_{0})$,
где $V_{0}$ - объем, занимаемый газом в случае, когда пружина, закрепленная в положении DD, оказывается нерастянутой: $V_{0} = 0,1 \cdot 10^{-3} м^{3} = 1 \cdot 10^{-4} м^{3}$. Таким образом, $p_{4} = \frac{k }{S^{2} } (V_{1} - V_{0}) = 1 \cdot 10^{3} Па$.
После того как основание пружины переместят из положения DD в положение ВВ, сила упругости возрастет. Поэтому при последующем нагревании газ начнет расширяться лишь с того момента, когда сила давления газа станет равна силе упругости. Это произойдет при $p = p_{1} = 2 \cdot 10^{3} Па$; в дальнейшем процесс повторяется (см. рис.).
Работа газа за один цикл численно равна площади параллелограмма на рис.:
$A = 0,2 Па \cdot м^{3} = 0,2 Дж$.
Тепло газ получает на участках $1 \rightarrow 2$ и $4 \rightarrow 1$; учитывая, что газ одноатомный, находим
$Q = Q_{1} + Q_{2} = A_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{1 \rightarrow 2} + \Delta U_{4 \rightarrow 1} = \frac{p_{1} + p_{2} }{2} (V_{2} - V_{1} ) + \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1} ) + \frac{3}{2} \nu R (T_{1} - T_{4} ) = \frac{p_{1} + p_{2} }{2} (V_{2} - V_{1} ) + \frac{3}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{4} ) = 2,7 Дж$.
Таким образом, КПД этого двигателя -
$\eta = \frac{A}{Q} \cdot 100 % \approx 7,4$%.
Полезную работу в этом цикле «снимают» с двигателя при смещении основания пружины—когда газ нагрет и его давление велико, он совершает работу большую, чем работа внешних сил при обратном смещении основания пружины.
