Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6621
2018-03-10 
Горизонтально расположенный цилиндрический теплоизолированный сосуд объема $V_{0} =100 л$, заполненный гелием, разделен на две части теплонепроницаемым поршнем, который может перемещаться без трения. Газу, находящемуся в левой части сосуда, сообщают количество тепла $\Delta Q = 100 Дж$. Найти изменение давления в сосуде к тому моменту, когда поршень перестанет двигаться.
Решение:
После подведения тепла $\Delta Q$ газ в левой части сосуда расширяется, совершая работу $\Delta A$. Эта работа целиком идет на увеличение энергии газа в правой части сосуда. Таким образом,
$\Delta Q = \Delta U_{1} + \Delta A = \Delta U_{1} + \Delta U_{2} = \frac{3}{2} R \left ( \frac{ m_{1} }{ \mu} \Delta T_{1} + \frac{m_{2} }{ \mu} \Delta T_{2} \right )$. (1)
Условие равновесия поршня до нагревания -
$p_{1} = p_{2} = p$,
уравнения состояния в левой и правой частях сосуда
$pV_{1} = \frac{m_{1} }{ \mu} RT_{1}, pV_{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} RT_{2}$,
где $V_{1} + V_{2} = V_{0}$. После нагревания, когда поршень уже не будет двигаться, давления в левой и правой частях уравниваются. Обозначим увеличение давления в сосуде $\Delta p$; тогда
$(p + \Delta p)(V_{1} + \Delta V) = \frac{m_{1} }{ \mu} R (T_{1} + \Delta T_{1})$,
$(p + \Delta p)(V_{2} - \Delta V) = \frac{m_{2} }{ \mu} R (T_{2} + \Delta T_{2})$.
После простых преобразований получаем
$\Delta p (V_{1} + V_{2} ) = R \left ( \frac{m_{1} }{ \mu } \Delta T_{1} + \frac{m_{2} }{ \mu} \Delta T_{2} \right )$,
или (с учетом (1))
$\Delta pV_{0} = \frac{2}{3} \Delta Q$.
Отсюда находим $\Delta p$:
$\Delta p = \frac{2/3 \Delta Q}{V_{0} } \approx 667 Н/м^{2}$,
Этот результат можно получить намного проще: прн равновесии давление в сосуде всюду одинаково, значит, одинакова и плотность энергии (энергия единицы объема). Следовательно, увеличение плотности энергии составит $\Delta Q/V_{0}$; вспомнив известную формулу, связывающую плотность энергии идеального газа с давлением, сразу получим ответ.
Горизонтально расположенный цилиндрический теплоизолированный сосуд объема $V_{0} =100 л$, заполненный гелием, разделен на две части теплонепроницаемым поршнем, который может перемещаться без трения. Газу, находящемуся в левой части сосуда, сообщают количество тепла $\Delta Q = 100 Дж$. Найти изменение давления в сосуде к тому моменту, когда поршень перестанет двигаться.
Решение:
После подведения тепла $\Delta Q$ газ в левой части сосуда расширяется, совершая работу $\Delta A$. Эта работа целиком идет на увеличение энергии газа в правой части сосуда. Таким образом,
$\Delta Q = \Delta U_{1} + \Delta A = \Delta U_{1} + \Delta U_{2} = \frac{3}{2} R \left ( \frac{ m_{1} }{ \mu} \Delta T_{1} + \frac{m_{2} }{ \mu} \Delta T_{2} \right )$. (1)
Условие равновесия поршня до нагревания -
$p_{1} = p_{2} = p$,
уравнения состояния в левой и правой частях сосуда
$pV_{1} = \frac{m_{1} }{ \mu} RT_{1}, pV_{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} RT_{2}$,
где $V_{1} + V_{2} = V_{0}$. После нагревания, когда поршень уже не будет двигаться, давления в левой и правой частях уравниваются. Обозначим увеличение давления в сосуде $\Delta p$; тогда
$(p + \Delta p)(V_{1} + \Delta V) = \frac{m_{1} }{ \mu} R (T_{1} + \Delta T_{1})$,
$(p + \Delta p)(V_{2} - \Delta V) = \frac{m_{2} }{ \mu} R (T_{2} + \Delta T_{2})$.
После простых преобразований получаем
$\Delta p (V_{1} + V_{2} ) = R \left ( \frac{m_{1} }{ \mu } \Delta T_{1} + \frac{m_{2} }{ \mu} \Delta T_{2} \right )$,
или (с учетом (1))
$\Delta pV_{0} = \frac{2}{3} \Delta Q$.
Отсюда находим $\Delta p$:
$\Delta p = \frac{2/3 \Delta Q}{V_{0} } \approx 667 Н/м^{2}$,
Этот результат можно получить намного проще: прн равновесии давление в сосуде всюду одинаково, значит, одинакова и плотность энергии (энергия единицы объема). Следовательно, увеличение плотности энергии составит $\Delta Q/V_{0}$; вспомнив известную формулу, связывающую плотность энергии идеального газа с давлением, сразу получим ответ.
