ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-10   
На pV-диаграмме (рис.) изображены два цикла, которые проводят с одноатомным идеальным газом: 1-2-3-1 и 1-3-4-1. У какого из циклов КПД больше и во сколько раз?



Решение:


В цикле 1-2-3-1 газ получает тепло на участках 1-2 и 2-3 и отдает на участке 3—1. Тогда

$\eta_{1} = \frac{A}{Q_{12} + Q_{23} }$,

где $A$ — работа, совершенная газом за цикл.
Так как эта работа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла, то, как видно из рис., совершенная газом работа в обоих случаях одинакова. Но в цикле 1-3-4-1 газ получает тепло только на участке 1—3. Поэтому

$\eta_{2} = \frac{A}{Q_{13} }$. (1)

Следовательно,

$\frac{ \eta_{1} }{ \eta_{2} } = \frac{Q_{13} }{ Q_{12} + Q_{23}}$. (1)

Так как процесс 1-2 изохорический, то

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}R(T_{2} - T_{1})$.

Но

$T_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{R}$ и $T_{2} = \frac{2p_{0}V_{0} }{R}$.

Следовательно,

$Q_{12} = \frac{3}{2} (2p_{0}V_{0} - p_{0}V_{0} ) = \frac{3}{2} p_{0}V_{0}$. (2)

Далее,

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2} R(T_{3} - T_{2} ) + 2p_{0} (3V_{0} - V_{0} ) = 10,5 p_{0}V_{0}$. (3)

И, наконец,

$Q_{13} = \Delta U_{13} + A_{13} = \frac{3}{2} R (T_{3} - T_{1}) + \frac{3}{2} p_{0} (3V_{0} - V_{0}) = 10,5 p_{0}V_{0}$. (4)

Подставляя найденные выражения для $Q_{13}, Q_{12}$ и $Q_{23}$ в (1), получим $\eta_{1} / \eta_{2} = 21 /23$.