Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6604
2018-03-10 
По цилиндрическому желобу радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, скользит маленький шарик (рис.). Длина желоба $L$. Сколько раз шарик пересечет самую нижнюю образующую желоба АВ, если он был пущен без начальной скорости из точки, находящейся вблизи нижней образующей?
Решение:
Разложим силу тяжести $mg$, действующую на шарик, на две составляющих, одна из которых направлена вдоль оси желоба и равна $mg \sin \alpha$, а другая - $mg \cos \alpha = mg^{ \prime}$ - лежит в плоскости, перпендикулярной оси. Движение шарика вдоль оси будет равноускоренным с ускорением $a = g \sin \alpha$. В плоскости, перпендикулярной оси, шарик будет совершать малые гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g^{ \prime} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{ g \cos \alpha} }$.
Число пересечений траектории шарика с линией АВ равно единице плюс целой части отношения всего времени движения $t = \sqrt{2l / a}$ минус четверть отношения периода колебаний к полупериоду колебаний $T/2$:
$n = 1 + \left [ \frac{ \sqrt{ \frac{2l}{a} - \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{R}{ g \cos \alpha } } } }{ \pi \sqrt{ \frac{R}{g \cos \alpha} } } \right ] = 1 + \left [ \frac{1}{ \pi} \sqrt{ \frac{2l}{R} ctg \alpha } - \frac{1}{2} \right ]$.
(Мы учли, что от начала движения шарика от первого пересечения с прямой АВ пройдет четверть периода колебаний, а затем уже каждое последующее пересечение будет происходить через полпериода колебаний.)
По цилиндрическому желобу радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, скользит маленький шарик (рис.). Длина желоба $L$. Сколько раз шарик пересечет самую нижнюю образующую желоба АВ, если он был пущен без начальной скорости из точки, находящейся вблизи нижней образующей?
Решение:
Разложим силу тяжести $mg$, действующую на шарик, на две составляющих, одна из которых направлена вдоль оси желоба и равна $mg \sin \alpha$, а другая - $mg \cos \alpha = mg^{ \prime}$ - лежит в плоскости, перпендикулярной оси. Движение шарика вдоль оси будет равноускоренным с ускорением $a = g \sin \alpha$. В плоскости, перпендикулярной оси, шарик будет совершать малые гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g^{ \prime} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{ g \cos \alpha} }$.
Число пересечений траектории шарика с линией АВ равно единице плюс целой части отношения всего времени движения $t = \sqrt{2l / a}$ минус четверть отношения периода колебаний к полупериоду колебаний $T/2$:
$n = 1 + \left [ \frac{ \sqrt{ \frac{2l}{a} - \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{R}{ g \cos \alpha } } } }{ \pi \sqrt{ \frac{R}{g \cos \alpha} } } \right ] = 1 + \left [ \frac{1}{ \pi} \sqrt{ \frac{2l}{R} ctg \alpha } - \frac{1}{2} \right ]$.
(Мы учли, что от начала движения шарика от первого пересечения с прямой АВ пройдет четверть периода колебаний, а затем уже каждое последующее пересечение будет происходить через полпериода колебаний.)
