Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6602
2018-03-10 
На верхней образующей гладкого цилиндра радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, укреплена невесомая веревка длины $l$. К другому концу веревки прикреплен небольшой груз. Определить:
а) длину свисающей части веревки в положении равновесия груза;
б) период малых колебаний груза в вертикальной плоскости, параллельной оси цилиндра.
Решение:
Очевидно, что когда груз находится в положении равновесия, свисающая часть веревки вертикальна (на рис а участок BD, где В - последняя точка касания веревки и цилиндра) и, следовательно, образует с осью цилиндра угол $\beta = \pi /2 - \alpha$.
Рассмотрим ту часть веревки, которая лежит на цилиндре. Разобьем ее на множество малых участков, каждый из которых можно считать прямолинейным. Каждый такой участок испытывает действие сил натяжения со стороны двух соседних участков и силы реакции со стороны цилиндра. Так как трение отсутствует, сила реакции в каждой точке касания веревки и цилиндра перпендикулярна поверхности цилиндра (т.е. направлена по перпендикуляру к соответствующей образующей, который проходит через ось цилиндра). Поскольку веревка невесомая, силы натяжения, действующие на отдельный участок, имеют одинаковые по абсолютной величине проекции на направление образующей. Значит, все участки веревки пересекают соответствующие образующие под одним и тем же углом $\beta = \pi/2 - \alpha$. Отсюда следует, что если мысленно «развернуть» верхнюю четверть цилиндра (от образующей, проходящей через точку В, до образующей, проходящей через точку А), то участок ВА веревки перейдет в прямолинейный отрезок ВА. Найдем длину этого отрезка.
Проведем сечение цилиндра, перпендикулярное его оси и проходящее через точку В. Пусть С—верхняя точка этого сечения. При «развороте» верхней четверти цилиндра точки А, В и С окажутся лежащими в вершинах прямоугольного треугольника с прямым углом ВСА (рис. б). Угол ABC равен $\pi - \pi/2 0 \beta = \alpha$ и $| BA | = | BC |/ \cos \alpha$. Но $|BC| = \pi R/2$, так что $| BA | = \pi R /2 \cos \alpha$. Следовательно, длина свободно свисающей части веревки равна
$|BD| = l - \frac{ \pi R}{2 \cos \alpha}$.
После того как грузу сообщат небольшую скорость в вертикальной плоскости, параллельной образующей цилиндра, он на протяжении всего движения будет находиться в этой вертикальной плоскости. Поскольку веревка все время натянута, то в любом промежуточном положении свисающая часть ($B^{ \prime}D$) будет образовывать прямую, а вся веревка будет лежать в плоскости, проходящей через точку А. Роль кривой $AB^{ \prime}$ будет такая же, как если бы точка А находилась на вертикали над точкой В на расстоянии $\pi R / 2 \cos \alpha$ выше нее.
Отсюда для периода малых колебаний груза получим
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
На верхней образующей гладкого цилиндра радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, укреплена невесомая веревка длины $l$. К другому концу веревки прикреплен небольшой груз. Определить:
а) длину свисающей части веревки в положении равновесия груза;
б) период малых колебаний груза в вертикальной плоскости, параллельной оси цилиндра.
Решение:
Очевидно, что когда груз находится в положении равновесия, свисающая часть веревки вертикальна (на рис а участок BD, где В - последняя точка касания веревки и цилиндра) и, следовательно, образует с осью цилиндра угол $\beta = \pi /2 - \alpha$.
Рассмотрим ту часть веревки, которая лежит на цилиндре. Разобьем ее на множество малых участков, каждый из которых можно считать прямолинейным. Каждый такой участок испытывает действие сил натяжения со стороны двух соседних участков и силы реакции со стороны цилиндра. Так как трение отсутствует, сила реакции в каждой точке касания веревки и цилиндра перпендикулярна поверхности цилиндра (т.е. направлена по перпендикуляру к соответствующей образующей, который проходит через ось цилиндра). Поскольку веревка невесомая, силы натяжения, действующие на отдельный участок, имеют одинаковые по абсолютной величине проекции на направление образующей. Значит, все участки веревки пересекают соответствующие образующие под одним и тем же углом $\beta = \pi/2 - \alpha$. Отсюда следует, что если мысленно «развернуть» верхнюю четверть цилиндра (от образующей, проходящей через точку В, до образующей, проходящей через точку А), то участок ВА веревки перейдет в прямолинейный отрезок ВА. Найдем длину этого отрезка.
Проведем сечение цилиндра, перпендикулярное его оси и проходящее через точку В. Пусть С—верхняя точка этого сечения. При «развороте» верхней четверти цилиндра точки А, В и С окажутся лежащими в вершинах прямоугольного треугольника с прямым углом ВСА (рис. б). Угол ABC равен $\pi - \pi/2 0 \beta = \alpha$ и $| BA | = | BC |/ \cos \alpha$. Но $|BC| = \pi R/2$, так что $| BA | = \pi R /2 \cos \alpha$. Следовательно, длина свободно свисающей части веревки равна
$|BD| = l - \frac{ \pi R}{2 \cos \alpha}$.
После того как грузу сообщат небольшую скорость в вертикальной плоскости, параллельной образующей цилиндра, он на протяжении всего движения будет находиться в этой вертикальной плоскости. Поскольку веревка все время натянута, то в любом промежуточном положении свисающая часть ($B^{ \prime}D$) будет образовывать прямую, а вся веревка будет лежать в плоскости, проходящей через точку А. Роль кривой $AB^{ \prime}$ будет такая же, как если бы точка А находилась на вертикали над точкой В на расстоянии $\pi R / 2 \cos \alpha$ выше нее.
Отсюда для периода малых колебаний груза получим
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
