Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6601
2018-03-10 
Тяжелая тележка движется со скоростью $v$ но горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. Переход между плоскостями плавный. На тележке на нити длиной $l$ висит шарик. Какова будет амплитуда колебаний шарика, когда тележка въедет на наклонную плоскость?
Решение:
Математический маятник в неинерциальной системе
В чем состоит задача описания движения математического маятника — небольшого груза на невесомой нити? Мы должны, зная начальное положение и начальную скорость груза, суметь определить его положение в любой последующий момент времени. Иначе говоря, мы должны определить, например, вид зависимостей $x(t)$ и $y(t)$, где $x$ и $y$ - координаты, определяющие положение! грузика в плоскости его движения.
Рассмотрим уравнения, описывающие движение математического маятника длины $l$, когда точка его подвеса] неподвижна относительно земли. Выберем оси координат Оx и Оу так, как указано на рис. а. Пусть в некоторый момент времени в процессе движения маятника нить составляет с вертикалью угол $\phi$ (угол $\phi$ отсчитывается от оси Оу против часовой стрелки). Уравнение движения груза—уравнение второго закона Ньютона
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T}$ (1)
($\vec{T}$ - сила натяжения нити) — в проекциях на оси Оx и Оу имеет вид
$ma_{x} = - T \sin \phi$, (2)
$ma_{y} = mg - T \cos \phi$. (3)
Поскольку при движении маятника длина нити неизменна, между координатами х и у выполняется соотношение (кинематическая связь)
$x^{2} + y^{2} = l^{2}$
и для описания движения маятника будет достаточно знать зависимость от времени какой-нибудь одной координаты.
Более естественной координатой, описывающей движение маятника, является угол $\phi$. Найдя зависимость $\phi(t)$, мы тем самым определим и зависимость от времени координат х и у:
$x(t) = l \sin \phi (t), y(t) = l \cos \phi(t)$.
Перепишем уравнения (2) и (3), подставив в них значения
$a_{x} = v_{x}^{ \prime} = x^{ \prime \prime} = - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi + l \phi^{ \prime \prime} \cos \phi$,
$a_{y} = v_{y}^{ \prime} = y^{ \prime \prime} = - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \cos \phi - l \phi^{ \prime \prime} \sin \phi$,
Умножив левые и правые части уравнения (2) на $\cos \phi$, а (3) — на $\sin \phi$, получим
$l \phi^{ \prime \prime} \cos^{2} \phi - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi \cos \phi + \frac{T}{m} \sin \phi \cos \phi = 0$, ($2^{ \prime}$)
$- l \phi^{ \prime \prime} \sin^{2} \phi - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi \cos \phi + \frac{T}{m} \sin \phi \cos \phi - g \sin \phi = 0$.
Вычитая ($3^{ \prime}$) из ($2^{ \prime}$), получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция $\phi(t)$:
$\phi^{ \prime \prime} + \frac{g}{l} \sin \phi = 0$,
В случае малых отклонений нити маятника от вертикали $\sin \phi \approx \phi$ и уравнение (4) переходит в уравнение
$\phi^{ \prime \prime} + \frac{g}{l} \phi = 0$,
которое представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{g/l}$. Общее решение такого уравнения имеет вид
$\phi = \phi_{0} \cos \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} } t + \Phi \right )$.
где $\phi_{0}$ - амплитуда колебаний, $\Phi$ - начальная фаза. Величины $\phi_{0}$ и $\Phi$ определяются однозначно начальными условиями.
Пусть теперь точка подвеса математического маятника движется с ускорением $b$ относительно неподвижной — инерциальной системы отсчета (рис. б). Ускорение а грузика (точки Л) относительно этой системы можно представить в виде векторной суммы
$\vec{a}^{ \prime} = \vec{a} + \vec{b}$,
где $\vec{a}^{ \prime}$ - ускорение точки А относительно неинерциальной системы отсчета, которая сама движется с ускорением $\vec{b}$ относительно неподвижной системы отсчета. Уравнение (I) теперь запишется так:
$m( \vec{a}^{ \prime} + \vec{b} ) = m \vec{g} + \vec{T}$.
Отсюда
$m \vec{a}^{ \prime} = m( \vec{g} - \vec{b}) + \vec{T}$. (5)
Уравнение (5) по форме отличается от уравнения (1) наличием постоянного вектора $m( - \vec{b})$, имеющего размерность силы. Таким образом, если мы хотим воспользоваться вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета, движущейся относительно инерциальной системы с постоянным ускорением $\vec{b}$, то к реальным силам, действующим на грузик — силе тяжести $m \vec{g}$ и силе натяжения нити $\vec{T}$, мы должны добавить еще одну: $m ( \vec{b})$. Эту силу называют силой инерции. В уравнении (5) мы объединили вектор $m(- \vec{b})$ с вектором силы тяжести $m \vec{g}$. В такой записи (5) представляет собой уравнение второго закона Ньютона для грузика, на который действует сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила $m( \vec{g} - \vec{b})$, играющая роль силы тяжести. Введение такой новой «силы тяжести» $m( \vec{g} - \vec{b})$ задает нам новое направление «вертикали» $Oy^{ \prime}$, совпадающее с вектором $\vec{g} - \vec{b}$; т.е. роль вектора $\vec{g}$ переходит к вектору $\vec{g} - \vec{b}$. Соответственно, появляется и новое направление «горизонтали» $Ox^{ \prime}$, перпендикулярное новой вертикали.
Преобразования, которые привели нас от уравнения (1) к уравнению (4), применимый к уравнению (5). Надо только помнить, что положение равновесия маятника в неинерциальной системе отсчета задается направлением новой вертикали; от этой вертикали отсчитывается и угол отклонения маятника от положения равновесия; скорость маятника (грузика) — это его скорость относительно движущейся с ускорением $\vec{b}$ системы отсчета.
При использовании энергетических соотношений (закона сохранения механической энергии) в инерциальной системе отсчета мы можем пользоваться формальной записью
$mg^{ \prime} h^{ \prime} + \frac{m (v^{ \prime} )^{2} }{2} = const$,
где $g^{ \prime} = | \vec{g} - \vec{b} |, h^{ \prime}$ - высота, отсчитываемая по новой вертикали, $v^{ \prime}$ - скорость тела относительно неинерциальной системы отсчета.
Перейдем теперь к решению задачи.
Мы должны, очевидно, рассмотреть движение маятника относительно неинерциальной системы отсчета—тележки, движущейся равнозамедленно вдоль наклонной плоскости (мы полагаем массу маятника много меньше массы тележки). Будем считать, что перекод от горизонтальной поверхности к наклонной плоскости очень гладкий и время движения тележки по закруглению много меньше периода колебаний маятника, так что практически мгновенно точка подвеса маятника начинает двигаться вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$ и с ускорением, равным по абсолютной величине $b = g \sin \alpha$ и направленным вниз вдоль наклонной плоскости. Относительно тележки маятник имеет в начальный момент скорость $v_{0} (1 - \cos \alpha)$; вектор относительной скорости перпендикулярен нити (считаем, что параллельная составляющая скорости гасится). Новое ускорение свободного падения равно $|g - b| = g \cos \alpha$.
Максимальный угол $\phi_{0}^{ \prime}$ отклонения маятника от нового положения равновесия найдем из закона сохранения энергии, записанного в новой системе отсчета (рис. в):
$\frac{m (v_{0} (1 - \cos \alpha) )^{2} }{2} + mgl \cos \alpha ( 1 - \cos \alpha) - mg \cos \alpha l ( 1 - \cos \phi_{0}^{ \prime} )$,
откуда
$\cos \phi_{0}^{ \prime} = \cos \alpha - \frac{v_{0}^{2} }{2gl \cos \alpha} (1 - \cos \alpha)^{2} = \cos \alpha - \frac{v_{0}^{2} 2 \sin^{4} \frac{ \alpha}{2} }{gl \cos \alpha}$,
$\phi_{0}^{ \prime} = arccos \left ( \cos \alpha - \frac{2v_{0}^{2} \sin^{4} \frac{ \alpha}{2} }{gl \cos \alpha} \right )$.
Тяжелая тележка движется со скоростью $v$ но горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. Переход между плоскостями плавный. На тележке на нити длиной $l$ висит шарик. Какова будет амплитуда колебаний шарика, когда тележка въедет на наклонную плоскость?
Решение:
Математический маятник в неинерциальной системе
В чем состоит задача описания движения математического маятника — небольшого груза на невесомой нити? Мы должны, зная начальное положение и начальную скорость груза, суметь определить его положение в любой последующий момент времени. Иначе говоря, мы должны определить, например, вид зависимостей $x(t)$ и $y(t)$, где $x$ и $y$ - координаты, определяющие положение! грузика в плоскости его движения.
Рассмотрим уравнения, описывающие движение математического маятника длины $l$, когда точка его подвеса] неподвижна относительно земли. Выберем оси координат Оx и Оу так, как указано на рис. а. Пусть в некоторый момент времени в процессе движения маятника нить составляет с вертикалью угол $\phi$ (угол $\phi$ отсчитывается от оси Оу против часовой стрелки). Уравнение движения груза—уравнение второго закона Ньютона
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T}$ (1)
($\vec{T}$ - сила натяжения нити) — в проекциях на оси Оx и Оу имеет вид
$ma_{x} = - T \sin \phi$, (2)
$ma_{y} = mg - T \cos \phi$. (3)
Поскольку при движении маятника длина нити неизменна, между координатами х и у выполняется соотношение (кинематическая связь)
$x^{2} + y^{2} = l^{2}$
и для описания движения маятника будет достаточно знать зависимость от времени какой-нибудь одной координаты.
Более естественной координатой, описывающей движение маятника, является угол $\phi$. Найдя зависимость $\phi(t)$, мы тем самым определим и зависимость от времени координат х и у:
$x(t) = l \sin \phi (t), y(t) = l \cos \phi(t)$.
Перепишем уравнения (2) и (3), подставив в них значения
$a_{x} = v_{x}^{ \prime} = x^{ \prime \prime} = - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi + l \phi^{ \prime \prime} \cos \phi$,
$a_{y} = v_{y}^{ \prime} = y^{ \prime \prime} = - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \cos \phi - l \phi^{ \prime \prime} \sin \phi$,
Умножив левые и правые части уравнения (2) на $\cos \phi$, а (3) — на $\sin \phi$, получим
$l \phi^{ \prime \prime} \cos^{2} \phi - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi \cos \phi + \frac{T}{m} \sin \phi \cos \phi = 0$, ($2^{ \prime}$)
$- l \phi^{ \prime \prime} \sin^{2} \phi - l ( \phi^{ \prime} )^{2} \sin \phi \cos \phi + \frac{T}{m} \sin \phi \cos \phi - g \sin \phi = 0$.
Вычитая ($3^{ \prime}$) из ($2^{ \prime}$), получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция $\phi(t)$:
$\phi^{ \prime \prime} + \frac{g}{l} \sin \phi = 0$,
В случае малых отклонений нити маятника от вертикали $\sin \phi \approx \phi$ и уравнение (4) переходит в уравнение
$\phi^{ \prime \prime} + \frac{g}{l} \phi = 0$,
которое представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{g/l}$. Общее решение такого уравнения имеет вид
$\phi = \phi_{0} \cos \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} } t + \Phi \right )$.
где $\phi_{0}$ - амплитуда колебаний, $\Phi$ - начальная фаза. Величины $\phi_{0}$ и $\Phi$ определяются однозначно начальными условиями.
Пусть теперь точка подвеса математического маятника движется с ускорением $b$ относительно неподвижной — инерциальной системы отсчета (рис. б). Ускорение а грузика (точки Л) относительно этой системы можно представить в виде векторной суммы
$\vec{a}^{ \prime} = \vec{a} + \vec{b}$,
где $\vec{a}^{ \prime}$ - ускорение точки А относительно неинерциальной системы отсчета, которая сама движется с ускорением $\vec{b}$ относительно неподвижной системы отсчета. Уравнение (I) теперь запишется так:
$m( \vec{a}^{ \prime} + \vec{b} ) = m \vec{g} + \vec{T}$.
Отсюда
$m \vec{a}^{ \prime} = m( \vec{g} - \vec{b}) + \vec{T}$. (5)
Уравнение (5) по форме отличается от уравнения (1) наличием постоянного вектора $m( - \vec{b})$, имеющего размерность силы. Таким образом, если мы хотим воспользоваться вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета, движущейся относительно инерциальной системы с постоянным ускорением $\vec{b}$, то к реальным силам, действующим на грузик — силе тяжести $m \vec{g}$ и силе натяжения нити $\vec{T}$, мы должны добавить еще одну: $m ( \vec{b})$. Эту силу называют силой инерции. В уравнении (5) мы объединили вектор $m(- \vec{b})$ с вектором силы тяжести $m \vec{g}$. В такой записи (5) представляет собой уравнение второго закона Ньютона для грузика, на который действует сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила $m( \vec{g} - \vec{b})$, играющая роль силы тяжести. Введение такой новой «силы тяжести» $m( \vec{g} - \vec{b})$ задает нам новое направление «вертикали» $Oy^{ \prime}$, совпадающее с вектором $\vec{g} - \vec{b}$; т.е. роль вектора $\vec{g}$ переходит к вектору $\vec{g} - \vec{b}$. Соответственно, появляется и новое направление «горизонтали» $Ox^{ \prime}$, перпендикулярное новой вертикали.
Преобразования, которые привели нас от уравнения (1) к уравнению (4), применимый к уравнению (5). Надо только помнить, что положение равновесия маятника в неинерциальной системе отсчета задается направлением новой вертикали; от этой вертикали отсчитывается и угол отклонения маятника от положения равновесия; скорость маятника (грузика) — это его скорость относительно движущейся с ускорением $\vec{b}$ системы отсчета.
При использовании энергетических соотношений (закона сохранения механической энергии) в инерциальной системе отсчета мы можем пользоваться формальной записью
$mg^{ \prime} h^{ \prime} + \frac{m (v^{ \prime} )^{2} }{2} = const$,
где $g^{ \prime} = | \vec{g} - \vec{b} |, h^{ \prime}$ - высота, отсчитываемая по новой вертикали, $v^{ \prime}$ - скорость тела относительно неинерциальной системы отсчета.
Перейдем теперь к решению задачи.
Мы должны, очевидно, рассмотреть движение маятника относительно неинерциальной системы отсчета—тележки, движущейся равнозамедленно вдоль наклонной плоскости (мы полагаем массу маятника много меньше массы тележки). Будем считать, что перекод от горизонтальной поверхности к наклонной плоскости очень гладкий и время движения тележки по закруглению много меньше периода колебаний маятника, так что практически мгновенно точка подвеса маятника начинает двигаться вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_{0}$ и с ускорением, равным по абсолютной величине $b = g \sin \alpha$ и направленным вниз вдоль наклонной плоскости. Относительно тележки маятник имеет в начальный момент скорость $v_{0} (1 - \cos \alpha)$; вектор относительной скорости перпендикулярен нити (считаем, что параллельная составляющая скорости гасится). Новое ускорение свободного падения равно $|g - b| = g \cos \alpha$.
Максимальный угол $\phi_{0}^{ \prime}$ отклонения маятника от нового положения равновесия найдем из закона сохранения энергии, записанного в новой системе отсчета (рис. в):
$\frac{m (v_{0} (1 - \cos \alpha) )^{2} }{2} + mgl \cos \alpha ( 1 - \cos \alpha) - mg \cos \alpha l ( 1 - \cos \phi_{0}^{ \prime} )$,
откуда
$\cos \phi_{0}^{ \prime} = \cos \alpha - \frac{v_{0}^{2} }{2gl \cos \alpha} (1 - \cos \alpha)^{2} = \cos \alpha - \frac{v_{0}^{2} 2 \sin^{4} \frac{ \alpha}{2} }{gl \cos \alpha}$,
$\phi_{0}^{ \prime} = arccos \left ( \cos \alpha - \frac{2v_{0}^{2} \sin^{4} \frac{ \alpha}{2} }{gl \cos \alpha} \right )$.
