Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6600
2018-03-10 
Штатив массы $M$ стоит на гладком столе. К штативу на легкой нити длины $l$ прикреплен шарик массы $m$. Нить отклоняют на малый угол $\alpha$ и отпускают. Нарисовать график зависимости скорости штатива от времени. Столкновения шарика с основанием штатива абсолютно упругие.
Решение:
При малом угле отклонения $\alpha$ перемещение шарика мало отличается от горизонтального. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, и импульс системы (точнее— проекция импульса на горизонтальную ось) остается постоянным—равным нулю. Следовательно, при движении шарика штатив движется в противоположную сторону; абсолютные значения $v$ и $u$ скоростей шарика и штатива (точнее—проекций соответствующих скоростей на горизонтальную ось) связаны соотношением
$mv = Mu$. (1)
Центр масс системы (точка О на рис. а) остается неподвижным; значит, неподвижной остается и точка $O^{ \prime}$ (проекция точки О на нить).
Таким образом, движение шарика—это колебания маятника с длиной нити
$l^{ \prime} = |O^{ \prime}B | = l \frac{M}{m + M}$
(см. рисунок). Частота этих колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l^{ \prime} } } = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} }$;
скорость шарика -
$v = v_{max} \sin \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } \right )$.
где $v_{max} = \omega v_{max} = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } l \sin \alpha$ - максимальное (по модулю) значение скорости, $x_{max} = l \sin \alpha$ - амплитуда смещения шарика.
Воспользовавшись соотношением (1), найдем скорость штатива:
$u = \left ( \frac{m}{M} \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } l \sin \alpha \right ) \sin \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } t = u_{max} \sin \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } t \right )$.
После каждого упругого соударения направления скоростей $v_{max}$ и $u_{max}$ меняются на противоположные (проверьте это).
График зависимости скорости штатива от времени приведен на рис. б, $\tau = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} }$.
Штатив массы $M$ стоит на гладком столе. К штативу на легкой нити длины $l$ прикреплен шарик массы $m$. Нить отклоняют на малый угол $\alpha$ и отпускают. Нарисовать график зависимости скорости штатива от времени. Столкновения шарика с основанием штатива абсолютно упругие.
Решение:
При малом угле отклонения $\alpha$ перемещение шарика мало отличается от горизонтального. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, и импульс системы (точнее— проекция импульса на горизонтальную ось) остается постоянным—равным нулю. Следовательно, при движении шарика штатив движется в противоположную сторону; абсолютные значения $v$ и $u$ скоростей шарика и штатива (точнее—проекций соответствующих скоростей на горизонтальную ось) связаны соотношением
$mv = Mu$. (1)
Центр масс системы (точка О на рис. а) остается неподвижным; значит, неподвижной остается и точка $O^{ \prime}$ (проекция точки О на нить).
Таким образом, движение шарика—это колебания маятника с длиной нити
$l^{ \prime} = |O^{ \prime}B | = l \frac{M}{m + M}$
(см. рисунок). Частота этих колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l^{ \prime} } } = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} }$;
скорость шарика -
$v = v_{max} \sin \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } \right )$.
где $v_{max} = \omega v_{max} = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } l \sin \alpha$ - максимальное (по модулю) значение скорости, $x_{max} = l \sin \alpha$ - амплитуда смещения шарика.
Воспользовавшись соотношением (1), найдем скорость штатива:
$u = \left ( \frac{m}{M} \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } l \sin \alpha \right ) \sin \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } t = u_{max} \sin \left ( \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} } t \right )$.
После каждого упругого соударения направления скоростей $v_{max}$ и $u_{max}$ меняются на противоположные (проверьте это).
График зависимости скорости штатива от времени приведен на рис. б, $\tau = \sqrt{ \frac{g}{l} \frac{m + M}{M} }$.
